2013年辽宁高考数学(理科)真题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数的模为（A） （B） （C） （D）（2）已知集合A B C D （3）已知点（A） （B） （C） （D）（4）下面是关于公差的等差数列的四个命题： 其中的真命题为（A） （B） （C） （D）（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A） （B） （C） （D）（6）在，内角所对的边长分别为A B C D （7）使得A B C D （8）执行如图所示的程序框图，若输入A B C D （9）已知点A B C D（10）已知三棱柱A B C D （11）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（A） （B） （C） （D）（11）设函数（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列 .（15）已知椭圆的左焦点为 .（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）设向量（I）若（II）设函数18（本小题满分12分）如图，（I）求证：（II）19（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. （I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.20（本小题满分12分）如图，抛物线（I）；（II）21（本小题满分12分）已知函数（I）求证： （II）若取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，（I）（II）23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）（II）24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（I）（II）2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时。如果后继部分的解答未该提的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分。3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4. 只给整数分数。一 选择题(1)B (2)D (3)A (4)D (5)B (6)A (7)B (8)A (9)C (10)C (11)B (12)D二填空题（13） （14）63 （15） （16）10三解答题(17).解： （I）由 及得 又从而所以 。6分 （II） 当时，取最大值1. 所以的最大值为 。12分 （18）（I）证明： 由AB是圆的直径，得 由平面ABC, 平面ABC, 得又平面PAC, 平面PAC, 所以 平面PAC, 因为平面PBC 所以平面PBC平面PAC. 。6分 （II）（解法一） 过C做CM/AP, 则CM平面ABC. 如图，以点C为坐标原点，分别以直线 BC,CA,CM为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系。 因为AB=2,AC=1,所以BC=. 因为PA=1,所以A(0,1,0), B(,0,0), P(0,1,1). 故， 设平面BCP的法向量为 则,所以，不妨令y=1，则 因为设平面ABP的法向量为 则所以不妨令x=1，则于是 所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为 。12分 （解法二） 过C作CMAB于M, 因为PA平面ABC,CM平面ABC, 所以PACM. 故CM平面PAB.过M作MNPB于N,连接NC,由三垂线定理得CNPB, 所以为二面角C-PB-A的平面角。在Rt中，由AB=2,AC=1,得 BC=,CM=,BM=.在 因为又在 所以二面角C-PB-A的 余弦值为 。12分（19）解： （I）设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有 “张同学所取的3道题都是甲类题”。 。6分 (II) X的所有的可能取值为0,1,2,3. 所以X的分布列为： X : 0 1 2 3 P : 。10分 。12分 (20) 解： （I）因为抛物线的切线斜率为 且切线MA的斜率为故切线MA的 方程为因为点MMA及抛物线 。 。 由得P=2. 。6分 （II）N为线段 AB中点知 。 。 切线MA,MB的方程为 。 。 由得MA,MB的交点M（）的坐标为 因为点M()在上，即 。 由得 当O, AB中点N为O,坐标满足 。12分 （21）（I）证明： 要证时， 只需证明 记则 。3分 要证 记K(x)=, 。5分 （II）证明：（解法一） 在 。9分 下面证明， 因为当a-3时，a+30，所以存在，此时 综上，实数a的取值范围。12分 （解法二） 先证当 记 记从而 同理可得， 综上，当 因为当 所以当。9分下面证明，当a-3时，因为 所以存在 满足 。12分 (22)证明：（I） 由AB为 又 故CEB. 。4分 (II) 由 得 。10分 （23）解： （I）， 解 注：极坐标系下点