江苏数学一轮第六章第36课平面向量的数量积要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的运算 (1) 已知|a a|=4,|b b|=5,且a a与b b的夹角为60,求(2a a+3b b)(3a a-2b b)的值. (2) 已知|a a|=3,|b b|=2,a a与b b的夹角为60,c c=3a a+5b b,d d=ma a-3b b. 当m为何值时,c cd d? 当m为何值时,c cd d? 思维引导思维引导根据数量积的运算律来进行计算. 解答解答(1) (2a a+3b b)(3a a-2b b)=6a a 2-4a ab b+9ab ab-6b b 2=6a a2+5ab ab-6b b 2=642+54 5cos60-65 2=96+50-150=-4. (2) 因为c cd d,所以c c=d d,所以3a a+5b b=(ma a-3b b),所以3a a+5b b=ma a-3b b, 所以 3, 5-3 , m 解得 9 -, 5 5 -. 3 m 因为c cd d,所以cdcd=0,所以(3a a+5b b)(ma a-3b b)=0, 所以3ma a 2-9a ab b+5mab ab-15b b 2=0, 所以3m9-932cos60+5m32cos60-152 2=0,所以m= 87 42. 精要点评精要点评数量积的运算律自身的特点要弄清,模和夹角是数量积计算中必须 关注的两个关键因素. (2014苏北四市期末)在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E,F分别在 边AD,BC上,且AD =3AE ,BC =3BF .若向量AB 与DC 的夹角为60,则AB EF 的值为 . 思维引导思维引导由题意可知AB 与DC 为目标向量,求AB EF 的值的关键是将EF 用AB 与DC 线性表示. 答案答案7 解析解析由题意得EF =ED +DC +CF ,且EF =EA +AB +BF , 将以上两式相加,得2EF = 1 3 AD +DC +AB + 1 3 CB = 1 3(AB +BC +CD )+DC +AB + 1 3 CB , = 4 3 AB + 2 3 DC , 于是EF = 2 3 AB + 1 3 DC , 从而AB EF =AB 21 33 ABDC = 22 3 AB + 1 3 AB DC = 2 39+ 1 332 cos60=7. 利用向量的数量积求模和夹角 利用向量的数量积求模和夹角 已知向量x x=a a-b b,y y=2a a+b b,且|a a|=|b b|=1,a ab b,求x x与y y的夹角的余弦值. 思维引导思维引导根据数量积的定义式的等价变形cos = | | | a b a b ,可求得两个向量的夹 角. 解答解答因为 |x x| 2=x x2=a a2-2ab ab+b b 2=1-0+1=2,|y y|2=y y2=4a a2+4ab ab+b b 2=5,xy xy=2a a 2-ab ab-b b 2=1, 所以cos = y x y x = 1 25 = 10 10 . (2014 南 京 、 盐 城 二 模 ) 已 知 | OA |=1,| OB |=2, AOB= 2 3 ,OC = 1 2 OA + 1 4 OB ,那么O A 与OC 的夹角大小为 . 答案答案60 解 析 解 析 由 题 意 得 O A O B =| O A | O B | cos AOB=-1,O A OC =O A 11 24 OAOB = 21 2 OA + 1 4 OA O B = 1 2 1+ 1 4 (-1)= 1 4 ,|OC |= 22111 4416 OAOAOBOB = 1 2 ,故cosAOC= | OAOC OA OC = 1 2 ,则 AOC=60. 向量数量积的综合应用 向量数量积的综合应用 如图,在矩形ABCD中,AB= 2 ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上.若 AB AF = 2 ,则AE BF = . (例3) 思维引导思维引导利用AF =AD +DF ,AE =AB +BE ,BF =B C +C F 进行运算与求 值. 答案答案 2 解析 解析由题意得 AF = AD + DF ,所以 AB AF =AB (AD +DF )=AB AD +AB DF =AB DF = AB DF cos 0 = 2 DF = 2 ,从而得到 DF =1, CF = 2 -1.又AE =AB +BE ,BF =B C +C F ,所 以AE BF =(AB +BE )(B C +C F )= AB CF + BE BC =- 2 ( 2 -1)+1 2= 2 . 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. (2014淮安、宿迁摸底)已知非零向量a a,b b满足(a a-2b b)a a,(b b-2a a)b b,那么向量 a a与b b的夹角为 . 答案答案3 解 析 解 析 设 向 量 a a 与 b b 的 夹 角 为 , 由 (a a-2b b) a a,(b b-2a a) b b, 得 |a a| 2-2ab ab=0,|b b| 2-2ab ab=0,即|a a|=|b b|,所以cos = | | | a b a b = 1 2 ,又0,故 =3 . 2. (2014南京、盐城一模)在ABC中,BC=2,A= 2 3 ,则AB AC 的最小值 为 . 答案答案- 2 3 解析解析设AB=x,AC=y,由余弦定理得2 2=x2+y2-2xycos 2 3 ,即4=x 2+y2+xy2xy+xy,故 xy 4 3 ,当且仅当x=y时取等号,AB AC =|AB |AC |cosA=- 1 2 xy- 1 2 4 3 =- 2 3 ,即AB AC 的最小值为- 2 3 . 3. (2014苏中三市、宿迁一调)在ABC中,D是BC的中点,AD=8,BC=20,则AB AC 的值为 . 答案答案-36 解 析 解 析 方 法 一 : 因 为 AB = AD + DB , AC = AD + DC , 所 以 AB AC =(AD +DB )(AD +DC )= 1 - 2 ADBC 1 2 ADBC = 2 AD - 21 4 BC = 64-100=-36. 方法二:以BC为x轴,点D为原点建立平面直角坐标系,则B(-10,0),C(10,0),A(8cos ,8sin),所以AB AC =(-10-8cos,-8sin) (10-8 cos,-8sin)=64 cos 2 -100+64 sin 2=64-100=-36. 方法三:以BC为x轴,点D为原点建立平面直角坐标系,则B(-10,0),C(10,0),A(xA,yA). 由AD=8,则 2 A x + 2 A y =64.又 AB AC =(-10-xA,-yA)(10-xA,-yA)= 2 A x -100+ 2 A y =64-100=-36. 4. (2014南通期末)若向量a a=(cos,sin),b b=(cos,sin),且|a a+b b|2a ab b, 则cos(-)的值是 . 答案答案1 解析解析由题意得 22 ()()coscossinsin 2cos(-),且cos(-)0, 所以2+2cos(-)4cos 2(-),所以cos(-)-12cos(-)+10,所 以cos(-)1,所以cos(-)=1. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点,满足 AD =AC (R R). (1) 求|2AB +AC |的值; (2) 求cosBAC; (3) 若BD BA ,求实数的值. 规范答题规范答题 (1) 因为AB =(-1,1),AC =(1,5), 所以2AB +AC =(-1,7).(2分) 所以|2AB +AC |= 22 (-1)7 =5 2 .(4分) (2) cosBAC= | AB AC AB AC = 2222 (-1) 1 1 5 (-1)115 = 2 13 13 .(9分) (3) BD =AD -AB =(1,5)-(-1,1)=(+1,5-1).(11分) 因为BD BA ,所以BD BA =0,(13分) 即(+1)1+(5-1)(-1)=0,解得= 1 2 .(14分) 1. (2014江西卷)已知单位向量e e1 1与e e2 2的夹角为,且cos= 1 3 ,向量 a a=3e e1 1-2e e2 2,b b=3e e1 1-e e2 2,a a与b b的夹角为,那么cos= . 答案答案 2 2 3 解析 解析cos= | | | a b a b = 1212 1212 (3 -2)? |3 -2 |3 - | eee e eee e = 22 11 22 2222 11221122 9-92 9-1249-6 eeee ee eeee ee = 1 9-92 3 11 9-1249-61 33 = 8 3 2 2 = 2 2 3 . 2. (2014全国卷)设向量a a,b b满足|a a+b b|= 10,|a a-b b|=6 ,则abab= . 答案答案1 解析解析由已知得|a a+b b| 2=10,|a a-b b|2=6,两式相减,得4ab ab=4,所以abab=1. 3. 已知两个单位向量a a,