江苏数学一轮第四章第26课三角变换要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 名称的变换 名称的变换 求证: 2 1 - 2 2 cos tan tan = 1 4sin2. 思维引导思维引导弦化切或切化弦是解决三角函数问题中时常遇到的解题方法,通过 “名”的统一,使问题由复杂到简单,由不易联系到直观明确,使问题能简化至易于解 答的形式,怎样“化”,需要不断积累经验和题型. 证明证明左边 = 2 c 22 - 22 cos ossin sincos = 2 22 - 22 22 cos cossin sincos = 2 22 22 - 22 cossincos cossin = 2 22 cossincos cos =cos sin2 cos2 = 1 2sincos= 1 4sin2=右边, 故原式成立. 精要点评精要点评证明三角恒等式实质上是消除等式两边的差异,有目的地化繁为 简、左右归一或变更结论.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的变换、公式变形 法等方法.在证明本题时,先观察条件和结论的差异(三角函数名及角),即sin2与 tan2 ,cos2的差异,先从解决三角函数名这个差异入手,采用条件转化法,即化切 为弦,都转化为弦函数,再从角的差异入手,转化为的正、余弦,最后用二倍角公式 转化成sin2.证明三角恒等式最重要的两个环节是观察条件和结论、 灵活选择和应 用公式. 求值:(tan10- 3) 0 0 10 50 cos sin . 解答解答原式=(tan10 -tan60) 0 0 10 50 cos sin = 000 000 106010 - 106050 sinsincos coscossin = 0000 00 1060 -6010 1060 sincossincos coscos 0 0 10 50 cos sin =- 00 00 (60 -10 ) 1060 sin coscos 0 0 10 50 cos sin =- 0 1 60cos =-2. 角的变换 角的变换 已知cos - 4 x = 2 10 ,x 3 , 24 . (1) 求sinx的值; (2) 求sin 2 3 x 的值. 思维引导思维引导(1) x= - 4 x +4 ;(2) 利用两角和的正弦公式求值. 解答解答(1) 方法一方法一:因为x 3 , 24 ,所以x-4 , 4 2 , 所以sin - 4 x = 2 1- 4 cosx = 7 2 10 . sinx=sin - 44 x =sin - 4 x cos4 +cos - 4 x sin4 = 7 2 10 2 2 + 2 10 2 2 = 4 5. 方法二方法二:由题设得 2 2 cosx+ 2 2 sinx= 2 10 , 即cosx+sinx= 1 5. 又sin 2x+cos2x=1, 所以25sin 2x-5sinx-12=0, 解得sinx= 4 5或sinx=- 3 5. 因为x 3 , 24 ,所以sinx= 4 5. (2) 因为x 3 , 24 , 所以cosx=- 2 1- i s n x =- 3 5, 所以sin2x=2sinxcosx=- 24 25,cos2x=2cos2x-1=- 7 25, 所以sin 2 3 x =sin2xcos3 +cos2xsin3 =- 247 3 50 . 精要点评精要点评角的变换非常灵活,如= 4 -4 = - 4 +4 ,即=(+)- ,= 2 + - 2 等,需要在平时的训练中细心体会. (2014 增 城 调 研 改 编 ) 已 知 cos 4 x = 3 5 , 17 12 x 7 4 , 那 么 2 22 1- sin xsin x tanx = . 思维引导思维引导注意x= 4 x -4 ,及2x=2 4 x -2 的两变换,就有以下的两种 解法. 答案答案- 28 75 解析解析方法一:由 17 12 x 7 4 ,得 5 3 x+4 2, 又因为cos 4 x = 3 5,所以sin 4 x =- 4 5. cosx=cos - 44 x =cos 4 x cos4 +sin（ 4 +x）sin 4 =- 2 10 ,从而 sinx=- 7 2 10 ,tanx=7. 原式= 2 22 1- sinxcosxsin x tanx = 2 7 227 2 2-2- 101010 1-7 =- 28 75. 方法二:原式= 2(1) 1- sinxcosxtanx tanx =sin2xtan 4 x , 而sin2x=sin 2- 42 x =-cos 2 4 x =- 2 2-1 4 cosx = 7 25, tan 4 x = 4 4 sinx cosx =- 4 3, 所以原式= 7 25 4 - 3 =- 28 75. 三角恒等变换的综合应用 三角恒等变换的综合应用 已知向量m m=(sinx,-1),n n= 1 3,- 2 cosx ,函数f(x)=m m2+mn mn-2. (1) 求f(x)的最大值,并求取最大值时x的取值集合; (2) 已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,且a,b,c成等比数列,角B为锐角, 且f(B)=1,求 1 tanA+ 1 tanC的值. 思维引导思维引导(1) 运用二倍角和两角和与差的公式将函数化到最简形式;(2) f(B)=1的转化和 1 tanA+ 1 tanC中名称的变换是关键. 解答解答(1) f(x)=sin 2x+1+ 3sinxcosx+ 1 2-2= 1-2 2 cos x + 3 2 sin2x- 1 2= 3 2 sin2x- 1 2cos2x=sin 2 - 6 x , 故f(x)max=1,此时2x-6 =2k+2 ,kZ Z, 即x=k+3 ,kZ Z, 所以取最大值时x的取值集合为x|x=k+3 ,kZ Z. (2) f(B)=sin 2 - 6 B =1, 又0B2 , 所以-6 2B-6 5 6 , 所以2B-6 =2 ,B=3 . 由b 2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC, 故 1 tanA+ 1 tanC= cosA sinA+ cosC sinC= sinCcosAcosCsinA sinAsinC = 2 ()sin AC sin B = 1 sinB= 2 3 3 . 精要点评精要点评(1) 新课标对三角恒等变换的要求:使学生经历用向量的数量积推 导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.向量是公式推导的基础 与工具,那么,考查向量与三角恒等变换的综合题必然成为高考合理的动向.这种综 合题是高考中的中档题,向量的作用是用坐标运算来构造成一个三角函数,关键是把 得到的三角函数式进行三角恒等变形,得到函数f(x)=Asin(x+)+b,从而求周期、 最值、单调性等问题.(2) 三角形的有关知识与三角变换经常结合在一起考查. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. 2 12 cos sin 1 1- tan tan 的值为 . 答案答案1 解 析 解 析 2 12 cos sin 1 1- tan tan = 22 2 - () cossin sincos 1 1- tan tan = -cossin sincos 1 1- tan tan = 1- 1 tan tan 1 1- tan tan =1. 2. (2014全国卷)函数f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+)的最大值为 . 答案答案1 解 析 解 析 f(x)=sin(x+2 )-2sin cos(x+ )=sin(x+ )+ -2sin cos(x+ )=sin(x+)cos-cos(x+)sin=sinx,故其最大值为1. 3. (2014成都模拟)若sin 6 = 1 3,则cos 2 -2 3 = . 答案答案- 7 9 解析解析令 6 +=,则cos 2 -2 3 =cos（ 2 3 -2+2 6 ）=-cos2=2sin 2 -1= 2 9-1=- 7 9. 4. (2014江西卷)已知函数f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中aR R, -, 2 2 . (1) 当a= 2,=4 时,求f(x)在区间0,上的最大值与最小值; (2) 若f 2 =0,f()=1,求a,的值. 解答解答(1) f(x)=sin 4 x +2cos 2 x = 2 2 (sin x+cos x)- 2sin x= 2 2 cos x- 2 2 sinx=sin - 4 x . 因为x0,所以4 -x 3 -, 44 , 故f(x)在区间0,上的最大值为 2 2 ,最小值为-1. (2) 由 0, 2 ( )1, f f 得 2 (1-2)0, 2-1. cosasin asinsina 又 -, 2 2 ,知cos0, 所以 1-20, (2-1)s-1, asin asinina 解得 -1, -. 6 a 已知点A(1,1),B(1,-1),C( 2cos ,2sin )(R R),O为坐标原点. (1) 若|BC -BA |= 2,求sin 2的值; (2) 若实数m,n满足mOA +nOB =OC ,求(m-3) 2+n2的最大值. 规范答题规范答题(1) 因为| BC -BA | 2=| AC | 2=( 2 cos -1) 2+( 2 sin -1) 2=-2 2(sin +cos )+4, (3分) 所以-2 2(sin +cos )+4=2, 即sin +cos = 2 2 , (4分) 两边平方,得1+sin 2= 1 2, 所以sin 2=- 1 2. (6分) (2) 由已知得(m,m)+(n,-n)=( 2cos ,2sin ), 所以 2, -2, mncos m nsin 解得 2 (), 2 2 (-). 2 mcossin ncossin (8分) 所以(m-3) 2+n2=m2+n2-6m+9 =-3 2(sin +cos )+10 (10分) =-6sin 4 +10, 所以当sin 4 =-1时,(m-3)2+n2取得最大值16. (12分) 1. 已知cos 2= 1 4,那么sin2= . 答案答案 3 8 解析 解析因为cos 2=1-2sin 2= 1 4,所以sin2= 3 8. 2. 求值:cos 20cos 40cos 80= . 答案答案 1 8 解析 解析对原式乘以 220? 220? sin sin ,再结合二倍角公式进行计算与化简即可. 3. 已知sin 6 x = 1 4,那么sin 5 - 6 x +sin2 - 3 x = . 答案答案 19 16 解析 解析sin 5 - 6 x +sin2 - 3 x =sin - 6 x +sin2 - 26 x =sin 6 x +cos2 6 x = 1 4+ 1 1-16 = 19 16. 4. 已知f(x)=