江西赣州寻乌中学高二数学上学期期末考试理PDF

x y O y=f(x) 第 5 题图 江西寻乌中江西寻乌中学学2016-2012016-2017 7学年度高二第一学期期末质量评估学年度高二第一学期期末质量评估 数学（理科）试题数学（理科）试题 第一卷（选择题，共 60 分） 一、选择题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知复数z满足方程i z iz （i为虚数单位） ，则z A 11 22 iB 11 22 iC 11 22 iD 11 22 i 2已知函数 32 ( )32f xaxx，若( 1)4f ，则a的值等于 A 3 19 B 3 16 C 3 10 D 8 3 3如图，函数 yf(x)的图象，则该函数在1x=的瞬时变化率大约是 A0.2B0.3C0.4D0.5 4过曲线( ) 1 x yf x x 图象上一点(2,2)及邻近一点(2x,2y) 作割线，则当0.5x 时割线的斜率为 A 1 3 B 2 3 C1D 5 3 5若二次函数f(x)的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数f(x)的 图象如右图所示，则函数f(x)图象的顶点在 A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 6已知向量a =(2,4,5)，b =(3,x,y) 分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则 Ax=6、y=15Bx=3、y= 15 2 Cx=3、y=15Dx=6、y= 15 2 7 对于两个复数i 2 3 2 1 ，i 2 3 2 1 ， 有下列四个结论： 1； 1 ； 1 ； 33 2，其中正确 的结论的个数为 A1B2C3D4 8如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，O是底面ABCD 的中心，E、F分别是 1 CC、AD的中点，那么异面直线OE和 1 FD 所成的角的余弦值等于 A 10 5 B 15 5 C 4 5 D 2 3 9已知函数 2 2 (0) ( ) 4(0) xx f x xx ，则 2 1 ( )f x dx A 1 3 B 1 3 C 1 43 D 1 23 10已知双曲线 22 22 xy 1 ab (a0，b0)的一条渐近线方程是 y=3x，它的一个焦点在抛物 线 y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为 A 22 xy 1 36108 B 22 xy 1 10836 C 22 xy 1 927 D 22 xy 1 279 11已知不等式 x ekx恒成立，则 k 的最大值为 AeBeC 1 e D 1 e 12对于三次函数 32 ( )(0)f xaxbxcxd a，给出定义：设( )fx是函数 y=f(x)的 导数，( )fx是( )fx的导数，若方程( )0fx有实数解 0 x，则称点 00 (,()xf x为函数 y=f(x)的“拐点” 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ；任何一个三次函 数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心 设函数 12 5 3 2 1 3 1 )(g 23 xxxx，则 122014 201520152015 g()g()g()= A2014B2013C 2015 2 D1007 第 8 题图 第二卷（非选择题，共 90 分） 二二、选择题、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为12 , 2, 1 2iii ， 那么第四个 顶点对应的复数是 14若直线l的方向向量(1,1,1)a ，平面的一个法向量(2, 1,1)n ，则直线l与平面 所成角的正弦值等于 15椭圆 22 22 1 xy ab （a 0b ）的左、右焦点分别是 12 FF，过 2 F作倾斜角为120的 直线与椭圆的一个交点为M，若 1 MF垂直于 2 MF，则椭圆的离心率为 16如图，直线ykx将抛物线 2 yxx与x轴所围图形 分成面积相等的两部分，则k= 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 12 分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同已知直线l的参数方程为 -1cos 1si n xta yta =+ =+ (t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为4cosrq= ()若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线 C 交点的极坐标； ()若直线l与曲线 C 相交弦长为2 3，求直线l的参数方程（标准形式） 18 （本题满分 12 分）已知函数f(x)= e xax1 ()若a=1，求证：( )0f x ； ()求函数 y=f(x)的值域 第 16 题图 19（本题满分 12 分） 如图， 直三棱柱 111 ABCABC中，90ACB， 1 1 2 ACBCAA， D 是棱 1 AA上的动点 ()证明：BCDC 1 ； ()若平面 BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分， 试确定点 D 的位置，并求二面角 11 CBDA的大小 20 （本题满分 12 分）一块长为a、宽为 2 a 的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒 ()试把方盒的容积 V 表示为x的函数； ()试求方盒容积 V 的最大值 21 （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知两点( 1,0)E 和(1,0)F，动点 M 满足 0EM FM ，设点 M 的轨迹为 C，半抛物线 C ： 2 2yx（0y ） ，设点 1 ( ,0) 2 D ()求 C 的轨迹方程； ()设点 T 是曲线 C 上一点，曲线 C 在点 T 处的切线与曲线 C 相交于点 A 和点 B，求 ABD 的面积的最大值及点 T 的坐标 22 （本小题满分 12 分）已知函数( )lnf xxax， 1 ( )() a g xaR x ()若1a ，求函数( )f x的极值； ()设函数( )( )( )h xf xg x，求函数( )h x的单调区间； ()若在区间1, (2.71828.)ee 上不存在 0 x， 使得 00 ()()f xg x成立， 求实数a 的取值范围 第 19 题图 江西寻乌中江西寻乌中学学2016-2012016-2017 7学年度高二第一学期期末质量评估学年度高二第一学期期末质量评估 数学（理科）试题答案数学（理科）试题答案 一、选择题选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号123456789101112 答案ACDBDDCBBCAA 二、填空题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13i2；14 2 3 ；1531； 16 3 314 11 22 k 三、解答题解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 12 分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为 -1cos 1si n xta yta =+ =+ (t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为4cosrq= ()若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线 C 交点的极坐标； ()若直线l与曲线 C 相交弦长为2 3，求直线l的参数方程（标准形式） 17解解：()直线 l 的方程：y-1=-1(x+1)，即 y=-x； （1 分） C：=4cos ，即 x 2+y2- 4x=0， （2 分） 联立方程得 2x 2- 4x=0，A(0,0)，B(2,-2)； （4 分） 极坐标为 A(0,0)，B 7 (2 2,) 4 p ； （5 分） () C：(x-2) 2+y2=4，弦心距22 2 3 2()1 2 d=-=， （6 分） 设直线l的方程为 kx-y+k+1=0， 2 21 1 1 kk d k + = + ，k=0 或 k= 3 4 - （8 分） 直线l： 1 1 xt y = -+ = (t 为参数)或 4 1 5 3 1 5 xt yt = - =+ (t 为参数)（10 分） 18 （本题满分 12 分）已知函数f(x)= e xax1 ()若a=1，求证：( )0f x ； ()求函数 y=f(x)的值域 18解解：()当a=1 时，f(x)= e xx1，由 ( )10 x fxe 得0 x x(,0 )0(0,) f(x) 0+ f(x)单调减极小值单调增 min ( )(0)0f xf，从而( )(0)0f xf，即证( )0f x 恒成立； （6 分） ()f(x)的定义域为 R，( ) x fxea. 若0a ，则( )0fx，所以 f(x)在 R 上单调递增，值域为 R； （8 分） 若0a ，则当(,ln )xa 时，( )0fx；当(ln ,)xa 时，( )0fx； 所以，f(x)在(,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a 上单调递增， min ( )(ln )ln1f xfaaaa，值域为ln1,)aaa （12 分） 19（本题满分 12 分） 如图， 直三棱柱 111 ABCABC中，90ACB， 1 1 2 ACBCAA， D 是棱 1 AA上的动点 ()证明：BCDC 1 ； ()若平面 BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分， 试确定点 D 的位置，并求二面角 11 CBDA的大小 19解解：()C1C平面 ABC，C1CBC（1 分） 又90ACB，即 BCAC，ACC1C = C BC平面 ACC1A1， 又 DC1平面 ACC1A1，BCDC1； （4 分） () 111 11 1 1 111 363 D BCCBCCBCC BABCA B C VSACSACV ， 依题意 11 1 1 1 2 D BCCD ABCABCA B C VVV ， 1 1 1 11 1111 6362 D ABCABCA B CABCABC VVSADSAAADAA ， D 为 AA1中点； （7 分） （法 1）取 11 AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接 11 ,C O C H 第 19 题图 1111111 ACBCC OAB，面 111 ABC 面 1 ABD 1 C O面 1 ABD 1 OHBDC HBD， 得点H与点D重合， 且 1 C DO是二面角 11 CBDA 的平面角（10 分） 设ACa，则 1 2 2 a C O ， 111 2230C DaCOC DO ，得二面角的大小 为30 （12 分） （法 2）以 C 为空间坐标原点，CA 为 x 轴正向、CB 为 y 轴正向、CC1为 z 轴正向，建立 空间直角坐标系， 设 AC 的长为 1， 则 A(1,0,0)、 B(0,1,0)、 D(1,0,1)、 A1(1,0,2)、 B1(0,1,2)、 C1(0,0,2)（8 分） 作 AB 中点 E，连结 CE，则 CEAB，从而 CE平面 A1BD，平面 A1BD 的一个法向量 11 (,0) 22 EC （9 分） 设平面 BC1D 的一个法向量为( , , )nx y z ，则 1 (1, 1,1),( 1,0,1)BDDC 1 00 00 n BDxyz n DCxz ，令1z ，得1,2xy，(1,2,1)n 1 1 1 11 |1 ()2 ()| |3 22 |cos| |cos(, )| 2| |2 6 2 EC n EC n ECn 故二面角 11 CBDA为30（12 分） 20 （本题满分 12 分）一块长为a、宽为 2 a 的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒 ()试把方盒的容积 V 表示为x的函数； ()试求方盒容积 V 的最大值 20解解：()依题意，折成无盖方盒的长为2ax、宽为2 2 a x、高为x，故体积 2 32 ( )(2 )(2 )43,(0) 224 aaa yV xaxx xxaxxx，其中常数0a ； （5 分） ()由 2 2 1260 2 a yxax （6 分）得 33 12 xa ， （7 分） 在定义域内列极值分布表（10 分） x (0, 33 12 a ) 33 12 a 33 (,) 124 a a f(x)+0 f(x)单调增极大值单调减 3 max 333 ( )() 1272 V xfaa （12 分） 21 （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知两点( 1,0)E 和(1,0)F，动点 M 满足 0EM FM ，设点 M 的轨迹为 C，半抛物线 C ： 2 2yx（0y ） ，设点 1 ( ,0) 2 D ()求 C 的轨迹方程； ()设点 T 是曲线 C 上一点，曲线 C 在点 T 处的切线与曲线 C 相交于点 A 和点 B，求 ABD 的面积的最大值及点 T 的坐标 21解解： （）设点,M x y，由0EM FM ，得 2 110 xxy， 所以C的轨迹方程是 22 1xy； （4 分） （）抛物线 C 为 1 2 2yx，设 2 1 (, ) 2 Ttt（0t ） ，则 1 2 y x ，所以切线为： 2 11 () 2 ytxt t ，即 2 220 xtyt，联立 22 2 2 1 x yt t xy ， 22242 4(1)440txt xtt, 判别式 242 16 (44)ttt，设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，则 42 12 2 44 | 1 ttt xx t ，过点D 作x轴的垂线交直线AB于点R，于是 2 220 1 2 xtyt x ，得 2 11 ( ,) 22 t R t ，则 2 1 | 2 t DR t ， 故ABD 的面积 12 1 | 2 SDRxx 22 (2)8 4 t 2 2 ，此时(1, 2)T （12 分） 22 （本小题满分 12 分）已知函数( )lnf xxax， 1 ( )() a g xaR x ()若1a ，求函数( )f x的极值； ()设函数( )( )( )h xf xg x，求函数( )h x的单调区间； ()若在区间1, (2.71828.)ee 上不存在 0 x， 使得 00 ()()f xg x成立， 求实数a 的取值范围 22解解：()当1a 时， 1 ( )ln( )01 x f xxxfxx x ，列极值分布表 ( )f x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，( )f x的极小值为(1)1f； 3 分 () 1 ( )ln a h xxax x 2 (1)(1) ( ) xxa h x