椭圆型方程课件

第二章椭圆形方程的有限差分法,有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值方法.有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值微商或数值积分导出相应的线性代数方程组.有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用Ritz-Galerkin方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按特定方式选取.,差分法求解的主要步骤：,(3)差分方程的解法.,(1)对求解区域做网格剖分.,一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元.,二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与,坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等.,(2)构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法,直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法).,差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究.,1差分逼近的基本概念,考虑二阶微分方程边值问题,将其分成等分，分点为,将方程(1.1)在节点,其中q，f为a,b上的连续函数，,为给定常数.,处离散化.,由Taylor展开得,其中,于是在,其中,舍去,将方程(1.1)写成,点取值.,表示方括号内的函数在,得逼近方程(1.1)的差分方程为：,称,形成关于,注此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数,对方程组(1.4)(1.5)的解分析需要考虑以下几个问题：,最多有3个易于求解.,为差分方程(1.3)的截断误差.,的线性代数方程组,(a)解是否惟一？,以,定义在,对,(b)当网格无限加密时，即,时，差分解,是否收敛到真解,(c)在何种度量下收敛？,(d)收敛速度如何？,为了解决如上问题，需要给出如下说明：,内点和界点,表示网格内点,的集合，,表示网格,集合.,上的网函数.,或,上的函数,称为,上的网函数引进如下范数：,其中,定义1.1设U是某一充分光滑的函数类，,称差分算子,断误差定义的网格函数.,为相容条件.,是由截,恒有,若对任何,逼近微分算子L，并称(1.6),注当用,阶也就不同.,逼近L时，选择网函数的范数不同，逼近的,定义1.2当h充分小时，若(1.4)(1.5)的解,称,如果存在与网格,且按某一范数,定义1.3对于差分方程,数M和,存在，,有,收敛到边值问题的解u.,无关的常数,及右端,使,称差分方程关于右端稳定.,相同的收敛阶.,定理1.1若边值问题的解u充分光滑，差分方程按,满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解,收敛到边值问题的解u，且有与,按,2两点边值问题的差分格式,考虑两点边值问题,其中,是给定的常数.,于是，得到I的一个网格剖分.Ih表示网格内点,(不包含x0,xN),2.1直接差分法,(1)取N+1个节点将I=a,b分成N个小区间:,(2)对I=a,b进行对偶剖分,取,称为半整数点，则,的中点,构成I的一个对偶剖分.,(3)将方程(2.1)在内点,(2.3),(2.4),处离散化.,(2.5),将(2.5)减(2.4)再除以,得,于是得逼近方程(2.1)(2.2)的差分方程：,误差为,2.2积分插值法,在a,b内任一小区间,考虑守恒型微分方程,上积分得：,其中,令,取,则,或,于是,又,沿,积分，得,得守恒型差分方程：,其中,(2.6),2.3边值条件的处理,考虑第二、第三边值条件,(2.7),(2.8),由于,不妨设,(2.9),(2.10),取,得,而,故,于是逼近边值条件(2.9)(2.10)的差分方程为：,(2.11),可以证明：当网格均匀且系数光滑时，差分方程(2.6),逼近微分方程,的阶为,边界差分方程(2.11),逼近(2.9)(2.11)的阶为,作业,3二维椭圆边值问题的差分格式,(3.1),G的边界T为分段光滑曲线.,(第一边值条件)(3.2),(第二边值条件)(3.3),(第三边值条件)(3.4),考虑Poisson方程,在T上u满足下列边值条件之一：,3.1五点差分格式（差分法）,作两族与坐标轴平行的直线:,两族直线的交点,取定沿x轴和y轴方向的步长,令,为网点或节点，记为,若,或,与T交点(也称界点)的集合；,内点；否则称为非正则内点,则称,是相邻节点.,令,表示所有属于G内部的节点,(也称内点)的集合；,表示网线,或,用,代替区域,若内点,的四个相邻点都属于,称其为正则,相邻节点内点*、o界点正则内点o非正则内点*,(3.5),利用Taylor展式可知,差分方程(3.5)称为五点差分格式,设为正则内点，沿x,y方向分别用二阶中心差商代替则有,因为上述差分方程中只出现网格函数u在(i,j)点及其上、下、左、右四个邻点上的值，故称之为五点差分格式。,若取正方形网格，即,则差分方程(3.5),简化为,若,(3.6),(Laplace方程),则,一般二阶线性微分方程,3.2边界条件的处理,第一类边界条件，只需将直接带入在内点列出的差分方程。,3.2.1矩形域上边界条件的处理,1.用内点与边界点单侧逼近法向导数,第二、三类边界条件则需在这些边界点上单独列出差分方程。,2.矩形外围一个步长处各增设一排虚拟网点,3.2.2非矩形域上边界条件的处理,边界网格点不一定在网线的交点上，非正则内点与其相邻边界网点的距离不一定等于h边界的法线方向不一定是水平方向或者垂直方向，变化很大，建立第二类或者第三类边界条件时很难逼近,（2）线性插值法,（1）直接转移法,对（xi,yk），用边界上距离这点最近的点的值作为该点的值。,：非正则内点集合,h：边界点集合,（3）列不等距差分方程,f1为f在1点的值。,其截断误差阶为O(h),其截断误差阶为O(1),如上处理边值条件缺点是破坏了对称正定性，而这一性质是五点差分格式所固有的为了保持对称正定性，可用下式代替,3.2边值条件的处理,1讨论第一边值条件：,当是非正则内点，如同正则内点，建立不等距的差分格式，如在节点0处有,其截断误差阶为,?,如上处理边值条件缺点是破坏了对称正定性，而这一性质是五点差分格式所固有的为了保持对称正定性，可用下式代替,此时，其截断误差阶为,(3.7),?,3.3五点差分格式（积分插值法）,3.3.1内点,仅讨论一种特殊情况，假设中的节点是两族网线的交点p0(i,j)是边界网点，p1(i+1,j)、p2(i,j-1)是与之相邻的内点，在ABC上对(3.8)积分，利用Green公式得,3.3.2边界讨论第二、三边值条件(3.8),而,于是(3.9)就是逼近(3.8)的差分方程.,(3.9),于是有,考虑Poisson方程,作业,边界点用增设虚拟网点来近似法向导数，试构造5点差分格式,实例,边界点用增设虚拟网点来近似法向导数，试构造5点差分格式，并用对称矩阵与向量表示。,实例,试构造5点差分格式，并用对称矩阵与向量表示。,3.4三角网差分格式,(3.1),G的边界T为分段光滑曲线.,(第一边值条件)(3.2),(第二边值条件)(3.3),(第三边值条件)(3.4),仍然考虑Poisson方程,在T上u满足下列边值条件之一：,三角剖分：1）在边界上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线2）将闭折线所围区域分割成有限个三角形之和，满足：任意一个三角形的顶点与其它三角形或者不相交，或者仅仅与其他三角形的顶点相交；三角形的每个内角不大于。,引入如下术语：节点三角形的顶点；单元每个三角形；相邻节点同一条边上的两个节点互为相邻节点；相邻单元有一公共边的两个三角形互为相邻单元；对偶单元对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。对偶剖分全体对偶单元构成区域G的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。,4极值定理敛速估计,Poisson方程,一般二阶线性椭圆型微分方程,记U=(u1,1,u2,1,.uN-1,1,u1,2,u2,2,.uN-1,2,.u1,N-1,u2,N-1,.uN-1,N-1)上述方程组可以表示为AU=F，A具有下列性质1）每行最多5个数非零，稀疏矩阵2）对角元是正的，非对角元是非正的，且满足,记,注本定理说明在定理中所给条件下，若有正的极大（负的极小），则一定在边界上取得,推论4.1差分方程有唯一解,证明：差分方程组可以表示为AU=F，要证明差分方程有唯一解，只需证明AU=F有唯一解，即证明相应的齐次方程只有平凡解（唯一零解），与齐次方程对应的差分方程满足：边值和右端都恒为零（齐次问题）。,uij不可能在内点取正的极大或者负的极小，也就是说，正的极大或者负的极小只能在边界处取得，但边界处uij=0，所以uij0,证明：所以uij不可能在内点取负的极小，也就是说，负的极小只能在边界处取得，所以uij0,证明由条件可知,由推论4.2知，结论成立,