江西赣州高三数学适应性考试理理科

赣州市 2018 年高三适应性考试理科数学参考答案 1 20182018 赣州市高三适应性考试理科数学参考答案赣州市高三适应性考试理科数学参考答案 一选择题一选择题 题号123456789101112 答案ADABBACBDCCD 12.提示：由 4 ln1f xkxxx x得：41 ln x kxx x ，令( ) ln x g x x ， 易知： g x在1,e上单调递减，在e,上单调递增， 而4ykx是一条恒过点0,4A的直线，如图所示， 232 2,3,4, ln2ln3ln2 BCD ，因为 1 2 ln2 AB k， 14 ln33 AC k， 1 1 2ln2 AD k，又 ABACAD kkk， 故满足题意只须 ACAD kkk，故选 D. 二填空题二填空题 13. 2 3 ；14. 2 2 28xy；15.30；16.45（填写45o或 4 不扣分）. 16.提示： 由题意不妨设 1 1 1 cossin cossin cossin AA BB CC ， 故ABC为锐角三角形， 111 ABC为钝角三角形， 否则得 1 1 1 2 2 2 AA BB CC 与内角和定理矛盾； 故不妨设 11 ,A B为锐角， 1 C为钝角，可得 1 1 1 2 2 2 AA BB CC 再结合内角和定理有： 1 CC ， 4 C ，又ABC是锐角三角形，故角C为最小角， 所以ABC的最小角为45度. 三解答题三解答题 17.解： （1）由 11 121 nnnn aSSS 1 分 由 1 2a ， 故 1 11S 2 分 赣州市 2018 年高三适应性考试理科数学参考答案 2 进而： 1 122 2 11 nn nn SS SS 3 分 故数列1 n S 是首项为1，公比为2的等比数列4 分 （2）由（1）知： 11 1221 nn nn SS 故 1 2n nn bnSnn 5 分 分别记数列 1 2, n nn 的前n项和为, nn A B 则 021 1 22 23 22 n n An 6 分 123 21 22 23 22 n n An 7 分 两式相减得 2 12222121 nnn n Ann 9 分 所以1 21 n n An10 分 1 123 2 n n n Bn 11 分 故 1 1 21 2 n nnn n n TABn 12 分 18.解： （1）在Rt ABE中，由1ABBE，得 45AEB ， 同理在Rt CDE中，由2CDDE，得45DEC 1 分 所以90BEC ，即BEEC（亦可通过勾股定理来证明）2 分 法一：在PAD中， 222 5985 cos 252 35 PAADPD PAD PA AD 3 分 在PAE， 222 5 2cos5 1 25 14 5 PEPAAEPA AEPAE 所以 222 PEAEPA， 即PEAD4 分 法二： 222 222 2cos 2cos PAAEPEAE PEPEA PDDEPEDE PEPED 3 分 代入数据化简可得：cos0PEA，即PEAD4 分 又面PAD 面ABCD且交线为ADPE面ABCDPEBE5 分 又面,BEEC PEECEBE面PEC 又BE 面BEF，故平面BEF 平面PEC6 分 （2）法一：由（1）知：,EB EC EP两两垂直，故以E为坐标原点，以射线,EB EC EP分 别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，得： 2222 2,0,0 ,0,2 2,0 ,0,0,2 ,0 ,2,2,0 ,1 2222 BCPADF 22 ,0 , 22 AB ， 3 22 ,1 22 BF ，2,2 2,0BC 7 分 设平面ABF的法向量为 111 ,zyxm 则： 11 111 22 0 22 3 22 0 22 m ABxy m BFxyz 8 分 赣州市 2018 年高三适应性考试理科数学参考答案 3 不妨取 1 1x ，则 1, 1,2 2m 9 分 设平面BFC的法向量为 222 ,zyxn 则： 22 222 22 20 3 22 0 22 n BCxy n BFxyz ， 不妨取 2 2y ，则 4,2,5 2n 10 分 记二面角ABFC为（应为钝角） 422011 7 cos 351070 m n mn 11 分 故二面角ABFC的余弦值为 11 7 35 12 分(取正值扣 1 分) 法二：过点E作AB的平行线交BC于点G，故以E为坐标原点，以射线,EA EG EP分别 为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系. 得平面ABF的一个法向量为1,0,2m ，平面BFC的法向量为1,3,5n ，相应给分. 19.解： （1）设第一次取出的3件产品中全为优质品为事件A，第二次取出的3件产品都是 优质品为事件B； 第一次取出的3件产品中恰有2件优质品为事件C， 第二次取出的4件产 品都是优质品为事件D， 这批产品通过检验为事件E， 根据题意有()()()E ABABCD, 且AB与CD互斥1 分 所以 33332244 3334 11111 ( )()()C ( )C ( )C ( ) ( ) C ( ) 22222 P EP ABP CD 5 128 5分 （2）的可能取值为300,600,7006 分 1203 33 1111 300( )( ) 2222 PCC7分 3 3 3 11 600 28 PC 8 分 22 3 113 700( ) 228 PC9 分 所以的分布列为 300600700 P 1 2 1 8 3 8 10 分 1133900 300600700487.5 2888 E12 分 赣州市 2018 年高三适应性考试理科数学参考答案 4 20.解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为c， 由题意得： 22 222 41 1 1 212 2 2 ab a abc 1 分 所以 2 2 2 6 a b c 3 分 所以椭圆C的方程为： 22 1 82 xy 4 分 (2) 当直线l的斜率不存在时，可设其方程为 1 xx 11 ( 2 22 22)xx且， 不妨设 1111 ,A x yB xy且 22 11 1 82 xy 故 2 111 2 11 1 1113 224 2 PAPB yyy kk xx x 把 1 y代换化简得： 2 1111 6802,4xxxx不合题意5 分 设直线l的方程为 1122 ,ykxm A x yB xy 联立 222 22 418480 1 82 ykxm kxkmxm xy 6 分 2222222 41848016 820820kxkmxmkmkm ， 由 12 ,x x是上方程的两根可知： 12 2 2 12 2 8 41 48 41 km xx k m xx k 7 分 由 121212 121212 11111133 , 22224224 PAPB yyyykxmkxm kk xxxxxx 8 分 化简整理得： 22 8620kkmmm9 分 即42210kmkm 故42mk 或21mk （舍去，因为此时直线经过点2,1P）10 分 把42mk 代入得 2 2323 481 22 kkk 011 分 所以直线方程为 2323 42() 22 ykxkk ，恒过点4, 212 分 21.解： （1）由 2 ee() xx f xax aR，得 2 ( )2 ee1 xx fxa 故当0a时， 2 ( )2 ee10 xx fxa ，即函数)(xf在R上单调递减1 分 赣州市 2018 年高三适应性考试理科数学参考答案 5 所以当0a时，函数)(xf在), 0( 上最多有一个零点2 分 又当10a 时， 2 2 e 010,10 e ea faf 3 分 所以当10a 时， 函数)(xf有且只有一个零点4 分 （2）解法一：由（1）知：当0a时，函数)(xf在), 0( 上最多有一个零点， 因为函数)(xf有两个零点，所以0a5 分 由 2 ee() xx f xax aR，得 2 ( )2 ee1 xx fxa，令( )0fx 分离参数法得 2 e e x x x a 6 分 记 22 e1 2e ee xx xx xx g xgx 7 分 1 2e x h xx 的图像如图所示， 故当,0 x ， 0gx8 分 当0,x， 0gx9 分 所以 max 01g xg10 分 又0,x， 0g x ， 2 1e-e0g 11 分 故实数a的取值范围是) 1 , 0(12 分 解法二：由（1）知：当0a时，函数)(xf在), 0( 上最多 有一个零点，因为函数)(xf有两个零点，所以0a5 分 由 2 ee() xx f xax aR，得 2 ( )2 ee1 xx fxa 令ext ，只须研究 2 210g tattt ，因为(0)10,20ga ， 所以函数 g t在), 0( 上有且只有一个零点，设为 0 t， 当 0 0,tt时， 0g t ，当 0, tt时， 0g t 即函数 xf在 0 ,lnt上单调递减，在 0 ln,t 上单调递增6 分 要使函数 xf在R上有两个零点，必须 xf的最小值 0 ln0ft， 即 2 000 ln0attt，又 2 000 ln210ftatt ， 消去a得： 00 2ln10tt 7 分 又因为 1ln2xxxh在, 0上单调递增，且 01 h，故 0 1t 8 分 则 0 1 01 t ，由 2 00 210att 得： 2 00 11 20,2a tt 9 分 所以10 a10 分 以下验证当10 a时，函数)(xf有两个零点。 当10 a时，0 1 1 12 ) 1 ( 2 a a aa a a g，所以 0 1 1t a ， 因为01 1 ) 1( 2 2 2 e aee ee a f，且 0 ln0ft， 所以函数)(xf在 0 1,lnt上有一个零点， 又因为01) 1 2 ( 22 ln 24 ) 2 (ln 2 aaaaa a a f（因为1ln xx） ， 且 0 ln0ft， 赣州市 2018 年高三适应性考试理科数学参考答案 6 所以函数)(xf在 0 2 ln,lnt a 上有一个零点， 所以当10 a时，函数)(xf在) 2 ln, 1( a 上有两个零点11 分 综上，实数a的取值范围是) 1 , 0(12 分 22.解： （1）由曲线 1 43 , : , xt C yt （t为参数） ，消去参数t得：34xy1 分 化为极坐标方程为：sin2 6 2 分 曲线 2 7cos , : 7 sin , 2 x C y （为参数）消去参数得： 22 4 1 77 xy 3 分 化为极坐标方程为： 22 1 3sin75 分 （2）联立 sin2,2 6 ,3 3 即2, 3 M 6 分 联立 22 1 3sin7,2 , 6 6 即2, 6 N 8 分 故 11 sin2 2 sin1 2236 MON SOMONMON 10 分 23.解： （1）当1x时，( )314f xx ，得1x，所以1x1 分 当11x时，( )34f xx ，得1x