广西南宁高三数学毕业班第二次适应性模拟测试理

南宁市高中毕业班第二次适应性模拟测试 数学（理科）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合 ，则=( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合的交集运算得解【详解】，由此，故选B。【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。2.若复数满足 (是虚数单位),则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】z=1+2i1+i-1=i1+i，z=22【详解】z=1+2i1+i-1=i1+i，z=22，故选A。【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题。3.若向量a=2,3, b=x,2且a(a2b)=3,则实数x的值为( )A. 12B. 12C. 3D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量a=(2，3)，b=(x，2)，所以a-2b=(2-2x，-1)，又aa-2b=3，所以22-2x-3=3，解得x=-12.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【解析】【分析】根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果.【详解】由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的20%，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为7020%=350万，因甲县人口占四个县总人口的52%，所以甲县的人口为35052%=182万.故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型.5.已知双曲线C:x2a2y23=1(a0)的一个焦点为（2，0），则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. y=xB. y=2xC. y=3xD. y=2x【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程.【详解】因为双曲线C:x2a2-y23=1(a0)的一个焦点为（2，0），所以a2+3=4，故a2=1，因此双曲线的方程为x2-y23=1，所以其渐近线方程为y=3x.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.已知数列an満足: a1=1,an+1=3an2，则a6=( )A. 0B. 1C. 2D. 6【答案】B【解析】【分析】由a1=1，an+1=3an-2可得a2=1，以此类推，即可得出结果.【详解】因为a1=1，an+1=3an-2，所以a2=3-2=1，以此类推可得a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，a6=3a5-2=1.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.7.巳知将函数f(x)=sin(2x+)02的图象向左平移个単位长度后.得到函数gx的图象.若gx是偶函数.则f3=( )A. 12B. 22C. 32D. 1【答案】A【解析】【分析】先由题意写出gx=sin(2x+3)，根据gx是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：gx=sin(2x+3)，因为gx是偶函数，所以3=2+k(kZ)，即=6+k3(kZ)，又02，所以06+k32，解得-12k0)的准线方程为y=1，ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线上，若y=2x5，则ABC面积的最小值为( )A. 5B. 4C. 12D. 1【答案】D【解析】【分析】准线方程为y=-1，得抛物线方程x2=4y,根据弦长公式解得BC，将面积的最小值转化为A点到直线的距离的最值问题。【详解】依题意得抛物线方程x2=4y，因为|AB-AC|=25，所以BC|=25，将y=2x+b代入x2=4y得x2-8 x-4 b=0，由=64+16b=0得b=-4.此时抛物线的切线为y=2x-4，则两条平行线之间距离为d=15，即点A到直线的最小距离，故SABC最小值12|BC|d=1.故选D。【点睛】本题考查了弦长公式，平行线间的距离公式，利用平面几何的知识将面积的最值问题转化为特殊几何的位置求解。11.设过点P2，0的直线与圆C:x2+y24x2y+1=0的两个交点为A，B，若8PA=5AB，则AB=（ ）A. 855B. 463C. 665D. 453【答案】A【解析】【分析】先设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my-2，联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及8PA=5AB，可求出m，再由弦长公式即可求出结果.【详解】由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my-2，由x2+y2-4x-2y+1=0x=my-2得m2+1y2-8m+2y+13=0，则y1+y2=8m+2m2+1，y1y2=13m2+1，又8PA=5AB，所以8(x1+2，y1)=5(x2-x1，y2-y1)，故8y1=5(y2-y1)，即y2=135y1，代入y1y2=13m2+1得：y12=5m2+1，故y22=169255m2+1，又(y1+y2)2=(8m+2m2+1)2，即y12+y22+2y1y2=194255m2+1+26m2+1=(8m+2m2+1)2，整理得：m2-40m+76=0，解得m=2或m=38，又AB=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=23m2+8m-12m2+1，当m=2时，AB=855；当m=38时，AB=855；综上AB=855.故选A【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，熟记直线与圆位置关系，结合韦达定理、弦长公式求解即可，属于常考题型.12.已知一个四棱锥的三视图如图.图中网格小正方形边长为1.则该几何体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由三视图还原几何体，结合题中数据，分别求出各棱长，即可得出结果.【详解】由三视图可得该四棱锥为，由题中数据可得AB=BC=2，CD=22+12=5，AD=42+12=17，BP=42+42=42，CP=42+22=25，DP=42+12=17，AP=42+42+22=6，即最长的棱为AP，长度为6.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，以及棱锥的相关计算，熟记几何体的结构特征即可，属于常考题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式x31x6的展开式中x4的系数为_（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】先写出二项展开式的通项公式，即可求出展开式中x4的系数.【详解】因为二项式x3-1x6的展开式的通项为Tk+1=C6k(x3)6-k(-1)k(x-12)k=C6k(-1)kx18-72k，令18-72k=4得k=4，所以展开式中x4的系数为C64(-1)4=15.故答案为15【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型.14.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a5=7，则S9=_.【答案】63【解析】【分析】由等差数列的前n项和公式可得S9=9a5，即可求出结果.【详解】因为a5=7，所以S9=9(a1+a9)2=9a5=63.故答案为63【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型.15.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3,BC=3,AB=32,AA1=4,则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为_【答案】1625【解析】【分析】先由题意可得CA、CB、CC1两两垂直，以C点为坐标原点，以CA、CB、CC1方向分别为x轴，y轴，轴，建立空间直角坐标系，求出直线A1C与BC1的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】因为AC=3,BC=3,AB=32，所以角C为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以CA、CB、CC1两两垂直，以C点为坐标原点，以CA、CB、CC1方向分别为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B(0,3,0)，所以A1C=(-3,0,-4)，BC1=(0,-3,4)，设异面直线A1C与BC1所成角为，则cos=cosA1C，BC1=A1CBC1A1CBC1=-449+169+16=1625.故答案为1625【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.16.已知函数f(x)=xexx22x(x1)2x3(x1)，当x(,m时，f(x)取值范围为x,11e，则实数m的取值范围是_.【答案】1,212e【解析】【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数m进行讨论。【详解】当x1时，f(x)=(x+1)ex-2，令f(x)0，则xln2或x-1；f(x)0，则-1x1时，f(x)=2x-31-1e,x2-12e，综上所述，m的取值范围为-1,2-12e【点睛】已知最值求参数的取值范围，主要的解题手段有两种，含参分类讨论或是数形结合利用图像分析出参数的取值。三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2c2=8，ABC的面积为23.(1)求角C的大小;(2)若c=23,求sinA+sinB的值.【答案】(1)3；(2)32.【解析】【分析】（1）利用面积公式和余弦定理求解即可。（2）利用余弦公式先求a+b=6，再利用正弦公式求解。【详解】（1）由ABC得面积为23可得12absinC=23，由a2+b2-c2=8及余弦定理可得2abcosC=8， 故tanC=3,C=3； （2）C=3,2abcosC=8,ab=8，又a2+b2-c2=8，C=23，可得a+b=6. 由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得sinA+sinB=asinCc+bsinCc=(a+b)sinCc=32 【点睛】本题属于基础题，考查余弦定理和正弦定理的应用，学生要熟练掌握其中的计算技巧。18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.日期第一年第二年第三年第四年优惠金额x（千元）10111312销售量y（辆）22243127(1)求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；(2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：b=i=1nxixyiyi=1pxix2=i=1exiyinxyi=1nxzln(x)z,a=ybx【答案】（1）y=3x8.5；（2）第5年优惠金额为85千元时，销售量估计为17辆【解析】【分析】（1）先由题中数据求出x，y，再根据b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-n(x)2,a=y-bx求出b和a，即可得出回归方程；（2）将x=8.5代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得x=11.5,y=26，i=14xiyi=1211,i=14xi2=534b=i=14xiyi-4xyi=14xi2-4(x)2=1211-411.526534-411.52=155=3,故a=y-bx=26-311.5=-8.5，y=3x-8.5（2）由（1）得，当x=8.5时，y=17，第5年优惠金额为85千元时，销售量估计为17辆.【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求b和a即可，属于常考题型.19.如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中, ACBC.AC=1.BC=2,AA1=4, M为侧面AA1CC1的对角线的交点, D、E分别为棱AB,BC的中点.(1)求证:平面MDE/平面A1BC；(2)求二面角CMED的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)8585.【解析】【分析】（1）利用线线平行证明平面MDE/平面A1BC，（2）以C为坐标原点建系求解即可。【详解】（1）证明D、E分别为边AB,BC的中点，可得DE/ / AC,又由直三棱柱可知侧面A A1C1C为矩形，可得A1C1/ / A C故有A1C1/ /DE， 由直三棱柱可知侧面A A1C1C为矩形，可得M为A1C的中点，又由E为BC的中点，可得A1B/ME. 由DE，ME 平面MDE，A1C1，BC1 平面MDE，得A1C1 / /平面MDE，BC1 / /平面MDE，A1C BC1 =C1，可得平面MDE / /平面A1BC1. （2）CA、CB, CC1为x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图， 则C(0,0,0)，A(1,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,4),M12,0,2,D12,1,0，E（0,1,0）， ME=-12,1,-2,CM=12,0,2,ED=12,0,0， 设平面CME的一个法向量为m=(x,y,z),则-12x+y-2z=12x+2z=0，取z=-1，有m=(4,0,-1) 同样可求出平面DME的一个法向量n=(0,2,1)，cosm,n=mn|m|n|=-1175=-8585， 结合图形二面角C-ME-D的余弦值为8585.【点睛】本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式cosm,n=mn|m|n|求解二面角。20.已知曲线C上动点M与定点F2，0的距离和它到定直线l1:x=-22的距离的比是常数22，若过P(0,1)的动直线与曲线C相交于A，B两点（1）说明曲线C的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）曲线C是椭圆，它的标准方程为x24+y22=1；（2）存在点Q（0，2）满足题意【解析】【分析】（1）先设动点M坐标为M（x，y），根据题意列出等式(x+2)2+y2x+22=22，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线与y轴垂直时，易得点Q必在y轴上.；当直线与x轴垂直时，易得点Q的坐标只可能是Q（0，2）；再证明直线斜率存在且Q（0，2）时均有QAQB=PAPB即可.【详解】（1）设动点M坐标为M（x，y）点M到直线l1:x=-22的距离为d依题意可知MFd=22则(x+2)2+y2x+22=22化简得x24+y22=1所以曲线C是椭圆，它的标准方程为x24+y22=1（2）当直线与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知PA=PB，又因为QAQB=PAPB,则QA=QB从而点Q必在y轴上.当直线与x轴垂直时，则A(0,2),B(0,-2)，由可设Q(0,y0),(y01)，由QAQB=PAPB得y0-2y0+2=2-12+1，解得y0=1（舍去），或y0=2则点Q的坐标只可能是Q（0，2）下面只需证明直线斜率存在且Q（0，2）时均有QAQB=PAPB即可.设直线的方程为y=kx+1，代入x24+y22=1得(2k2+1)x2+4kx-2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k设点B关于y轴对称点坐标B（-x2，y2）因为直线QA的斜率kQA=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1同理得直线QB的斜率kQB=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k+1x2kQA-kQB=2k-(1x1+1x2)=2k-2k=0kQA=kQB，三点Q,A,B共线.故QAQB=QAQB=x1x2=PAPB.所以存在点Q（0，2）满足题意【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型.21.已知函数f(x)=ax22xlnx1(aR).(1) 若x=1e时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的单调区间；(2) 证明：1+13+15+12n112ln(2n+1)+n2n+1nN*.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据x=1e时，函数f(x)取得极值，求出a，进而可求其单调区间；（2）先令a=1，用导数的方法证明x2-2xlnx-10，得到x1时，x-1x2lnx，再令x=2n+12n-11,nN*，得2n+12n-1-2n-12n+12ln2n+12n-1，即12n-112ln2n+12n-1+12(12n-1-12n+1)，最后求1+13+15+.+12n-1，即可得出结论成立.【详解】（1）由题意可得，f(x)=2ax-2lnx-2(x0,aR)，由x=1e时，函数f(x)取得极值知f1e=2ae+2-2=0，所以a=0所以f(x)=-2xlnx-1,f(x)=-2lnx-2(x0)，所以0x0；x1e时，f(x)0；所以f(x)的单调增区间(0，1e)，单调减区间为(1e，+).（2）当a=1时，f(x)=x2-2xlnx-1，所以f(x)=2x-2lnx-2=2(x-lnx-1)，令g(x)=x-lnx-1，则g(x)=1-1x=x-1x，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，+)，所以g(x)g(1)=0，所以f(x)0，f(x)增函数，所以x1时，f(x)=x2-2xlnx-1f(1)=0，所以x1时，x-1x2lnx，令x=2n+12n-11,nN*，得2n+12n-1-2n-12n+12ln2n+12n-1即1+22n-1-(1-22n+1)2ln2n+12n-1所以12n-112ln2n+12n-1+12(12n-1-12n+1)上式中n=1，2，3，n，然后n个不等式相加，得到1+13+15+.+12n-112ln(2n+1)+n2n+1【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记通常用导