同步测控优化训练高三数学第二章单元检测A卷

高三数学同步检测(七)第二章单元检测(A)说明：本试卷分为第、卷两部分,请将第卷选择题的答案填入题后括号内,第卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.式子12+22+32+n2=在( )A.n为任何自然数时都成立B.n=1,2时成立,n=3时不成立C.n=4时成立,n=5时不成立D.n=3时成立,n=4时不成立解析用数学归纳法证题的前提是分清等式两边的构成情况,就本题而言,它的左边是从1开始的n个连续正整数的平方和的形式,可采用直接代入法求解.答案 D2.设,若f(x)存在,则常数b的值是( )A.0 B.1 C.-1 D.e分析 本题考查f(x)=a的充要条件：f(x)=f(x)=a.解 (2x+b)=b,ex=1,又条件f(x)存在,b=1.答案 B3.用数学归纳法证明+cos+cos3+cos(2n-1)= (k,nN*),验证n=1等式成立时,左边计算所得的项是( )A. B.+cosC.+cos+cos3 D.+cos+cos3+cos5分析分清等式左边的构成情况是解决此题的关键;对于本题也可把n=1代入右边化简得出左边.解法一因为等式的左边是(n+1)项的形式,故n=1时,应保留两项,它们是+cos.解法二当n=1时,右边=sincos=(sin2+sin)= (sincos+sin)=+cos.答案B4.数列1,的前n项和为Sn,则等于( )A.0 B. C.1 D.2分析 本题考查数列极限的求法.要求数列an的前n项和,应首先确定它的通项公式.解 an=Sn=a1+a2+an=2(1-+-+-)=.Sn=.答案 D5.若,则a的值为（ ）A.0 B.1 C.-1 D.分析 本题考查当xx0时函数的极限.解 存在，而把x=2代入分母时，分母为零，分子、分母应有（x-2)这一公因式，化简以后，再求极限.分子x2+ax-2可分解成（x-2)(x+1)，即x2+ax-2=(x-2)(x+1)=x2-x-2.a=-1.答案 C6.等于( )A.0 B.-1 C.1 D.不存在分析 本题考查函数f(x)的极限.若把x=-1代入函数解析式,解析式无意义,故应化简函数解析式,约去使它的分母为0的因式,再求解.解 =答案 B7.已知数列an是由正数组成的数列,a1=3,且满足lgan=lgan-1+lgc,其中n1且为整数,c2,则等于( )A.-1 B.1 C. D.分析 本题考查数列的极限及运算能力.解 an0,lgan=lgan-1+lgc,an=an-1c,=c,即数列an是首项为a1=3,公比为c的等比数列,an=3cn-1(c2),答案 A8.欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2nn3,n0为验证的第一个值,则( )A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n010D.n0=2解析 本题考查用数学归纳法证明问题时,第一步初始值n0的确定.不能认为初始值都从n0=1开始,需根据实际题目而定.当1n10时,2n与n3的大小不确定,而当n10时,总有2nn3.答案 C9.用数学归纳法证明命题“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3分析本题考查用数学归纳法证明整除性问题.只需把n=k+1时的情况拼凑成一部分为假设的形式,另一部分为除数的倍数形式即可.解当n=k+1时,被除数为(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3).故只需展开(k+3)3即可.答案A10. 则a的取值范围是( )A.a=1 B.a-1或aC.-1a D.a-或a1分析 本题考查极限qn=0,|q|1.要求a的范围,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.解法一 ()n=0,|1a-1或a.解法二 本题可利用特殊值代入法,当a=1时成立,排除C、D.再令a=,()n=0成立,排除A.答案 B第卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.用数学归纳法证明,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .解析 因为自变量取n时,不等式的左边为n项和的形式,所以当n=k+1时应为k+1项的和,它们是,右边只需把n=k+1代入即可,它们是,故应推证的不等式是答案12.()= .分析 本题考查数列极限的运算.此题属于“-”型,应先分子有理化,再求极限.解 (n-n+1)=答案 013.设函数在x=0处连续,则实数a的值为 .分析 本题考查函数的极限及函数f(x)在点x0处连续的定义.解 函数f(x)在点x0处连续,又f(0)=a,a=.答案 14.已知,则a的值为 .分析本题考查f(x)的极限.因为把x=x0代入分式的分子,分子不为0.又因为f(x)存在,所以把x=x0代入分母,分母必不为0.故采用直接代入法即可求极限.解 答案 三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.分析 本题的关键在于如何应用归纳假设及已知条件分析当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆的交点个数,做到有目的的变形.证明 (1)当n=1时,一个圆把平面分成两部分,又12-1+2=2,故命题成立.(2)假设n=k(kN*)时,命题成立,即满足题设条件的k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.2分那么当n=k+1时,设第k+1个圆为O,由题意,它与k个圆中每个圆交于两点,又无三个圆交于同一点,于是它与其他k个圆交于2k个点,这些点把O分成2k条弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. 6分这就是说,当n=k+1时,命题也成立.综上可知,对一切nN*,命题都成立. 8分16.(本小题满分8分)设f(x)是一次函数，f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比数列，求.分析 本题为函数、数列、极限的一道综合题.解题关键是先利用待定系数法确定f(x)的解析式，再求f(1)+f(2)+f(n),然后利用极限的运算法则求极限.解 设f(x)=kx+b,由条件，得8k+b=15,b=15-8k.f (2), f (5), f (4)成等比数列,(5k+b)2=(2k+b)(4k+b). 2分把b=15-8k代入，得(15-3k)2=(15-6k)(15-4k).解得k=4,k=0(舍）,b=-17.f(x)=4x-17. 4分f(1)+f(2)+f(n)=(41-17)+(42-17)+(4n-17)=4(1+2+n)-17n=4-17n=2n2-15n. 6分=8分17.(本小题满分8分)某校有教职工150人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,则在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?分析 本题考查用数列的递推公式求通项及数列的极限.解 设第n次去健身房的人数为an,去娱乐室的人数为bn,则an+bn=150, 2分an=an-1+bn-1=an-1+(150-an-1)=an-1+30,即an=an-1+30. 4分an-100=(an-1-100).于是an-100=(a1-100)()n-1,即an=100+()n-1(a1-100). 6分an=100.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右. 8分18.(本小题满分10分)已知数列an、bn,其中an=1+3+5+(2n+1),bn=2n+4(n5),试问是否存在这样的自然数n,使得anbn成立？分析 对n赋值后,比较几对an与bn的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明.解 an=1+3+5+(2n+1)=(n+1)2,当n=5时,a5=36,b5=25+4=36,此时a5=b5;当n=6时, a6=49,b6=26+4=68,此时a6b6;当n=7时,a7=64,b7=27+4=132,此时a7b7;当n=8时,a8=81,b8=28+4=260,此时a8b8.猜想:当n6时,有anbn. 3分下面用数学归纳法证明上述猜想.当n=6时,显然不等式成立,n=6时,不等式anbn成立;假设当n=k(k6)时,不等式成立,即akbk,也即(k+1)22(k+1)2-4=2k2+4k-2,而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-60(k6,k26),即2k2+4k-2(k+2)2=(k+1)+12.由不等式的传递性,知bk+1(k+1)+12=ak+1.当n=k+1时,不等式也成立. 8分由可知,对一切nN,且n6,都有anbn.综上所述,可知只有当n=5时,an=bn;当n6时,anbn.因此存在使anbn成立的自然数n.10分19.(本小题满分10分)已知数列an、bn都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且.求极限的值.分析 首先需求出an、bn的表达式,以确定所求极限的表达式,为此,关键在于求出两个数列的公差,“b2是a2与a3的等差中项”已给