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广西玉林、柳州市2020届高三第二次模拟考试理科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分, 满分60分)123456789101112CDDBADCBCACA二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）由题可得， 2分解得 3分（2）平均成绩为：5分6分（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：优秀非优秀合计男生女生合计8分，10分没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 12分18.解：（1）依题意得， 2分由正弦定理得，即，4分由余弦定理得， 5分又因为，所以. 6分（2）解法一:在中，即，7分在中，即.8分，所以，9分由（1）及得， 所以，10分，即，11分当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.12分解法二：，7分，即. 8分为中点，所以，9分10分，11分当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.12分19.证明：（1）设的中点为，连接，由题意，得，1分在中，为的中点，2分在中， ，3分， 4分，平面，平面，5分又平面，平面平面 6分（2）由（1）可知平面，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 8分设平面的法向量为，则由得：令，得，即9分设平面的法向量为，由得：，令，得，即 10分 .11分由图可知，二面角的余弦值为12分20.解：（1）抛物线的焦点为， 1分则过点且斜率为1的直线方程为，2分联立抛物线方程，消去得：， 3分设，则，由抛物线的定义可得，解得， 4分抛物线的方程为.5分（2）设，不妨设， 6分化简得：，圆心到直线的距离为1，故，7分即，不难发现，上式又可化为， 8分同理有，可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，则，9分由，得 10分，11分当且仅当时取等号.面积的最小值为8. 12分21.解：(1)函数是定义域为 ，1分， 2分当时，所以在单调递减；3分当时，所以在单调递增；4分当时，令，则，令所以或；令，；在上递增，在上递减，在上递增6分（2）由且，得 此时设的两根为， ， ， 7分由，且，得 8分 9分由得 代入上式得10分令，所以，则，在上为减函数 11分从而，即12分22.解：（1）设曲线上任意点的极坐标为，由题意，曲线的普通方程为，2分即， 3分则，故曲线的极坐标方程为. 5分（2）设，则，故， 6分点在曲线上，则，7分 8分 ，, 9分时，取到最大面积为 10分23.解：（1）由已知可得：， 2分当时，成立；3分当时，即
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