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文档简介

.,例1：已知流体质点的位置由拉格朗日坐标表示为：,式中，为时间的某一函数，求质点的迹线。,（a）,（b）,解：将（a）式平方，并与（b）式相加，得：,这表明流体质点的迹线是一条抛物线。,.,在欧拉法中，由速度场也可以建立迹线方程。迹线的微元长度向量dr应等于质点在微小时间间隔dt所移动的距离，即：,这就是迹线的微分方程。,在直角坐标中它可以表示为：,.,例2：已知速度分布为，求流体质点的迹线。,解：根据已知条件u=Ax,v=-Ay，则迹线的微分方程可写为：,分别积分后可得，,式中，c1及c2为积分常数，从这两式中消去t可得迹线：,.,例3：已知欧拉坐标系中的速度场：,试求：（1）在t=0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。（2）在t=1时刻过（1，2）点的迹线。（3）在t=1时刻过（1，2）点的流线。（4）以拉格朗日坐标表示的速度分布,.,解（2）,迹线方程可求得，,代入已知条件，可得c1=3/e,c2=4/e，则迹线方程为：,.,（3）,流线方程为：,积分得，,由已知条件可得积分常数c=2/3，则流线方程为：,.,例4：设速度场为u=t+1,v=1，t=0时刻时流体质点A位于原点。求：（1）质点A的迹线方程；（2）t=0时刻过原点的流线方程；（3）t=1时刻质点A的运动方向。,解（1）：列出迹线方程组为，,.,由上面两式积分可得，,由已知条件，可得：c1=c2=0。则质点A的迹线方程为：,消去参数t，可得：,（a）,.,上式表明：质点A的迹线是一条以(-1/2,-1)为顶点，且通过原点的抛物线。如下图所示，,.,（2）流线方程为，,积分上式可得，,（b）,因为t=0时刻，流线通过原点x=y=0，可得上式积分常数c=0，相应的流线方程为：,（c）,上式表明：这是一条经过原点的，一三象限的角平分线，且与质点A的迹线相切于原点。,.,（3）为确定t=1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的流线方程。由迹线的参数式方程（a）可确定，t=1时刻质点A位于x=3/2,y=1位置，代入流线方程（b），,可得：c=-1/4。则t=1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为：,上式是一条与流体质点A的迹线相切于（3/2,1）点的斜直线，运动方向为沿直线朝x,y增大方向。,（d）,小结：以上可见，非定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（参见b式）。,.,作业：,
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