8 5 平面及其方程

高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四1 1 定义：定义：垂直于平面的非零向量，称为该平面的垂直于平面的非零向量，称为该平面的法向量法向量。 已知平面上一点 。 已知平面上一点 及它的法向量及它的法向量 ,nA B C 0000 (,)Mxyz 一、平面方程的各种形式一、平面方程的各种形式 第五节 平面及其方程第五节 平面及其方程 1. 点法式方程点法式方程 求平面的方程。求平面的方程。 000 ()()()0A xxB yyC zz 平面的平面的点法式方程。点法式方程。 x y z o 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四2 2 2.平面的一般方程平面的一般方程 任意一张平面总可以用平面上一点及它的法向量表示，即任意一张平面总可以用平面上一点及它的法向量表示，即 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0)( 000 CzByAxCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程 ,nA B C 平面的法向量平面的法向量 3.截距式方程截距式方程 已知平面与三个坐标轴的交点已知平面与三个坐标轴的交点A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c) 求平面的方程。求平面的方程。 1 xyz abc 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四3 3 4. 三点式方程三点式方程 已知平面上三点已知平面上三点 11,1122223333 (,)(,)(,)Mx y zMxyzMxyz、 求平面的方程。求平面的方程。 解解 M1、M2、M3 三点共面三点共面 11213 ()0M MM MM M 111 212121 313131 0 xxyyzz xxyyzz xxyyzz 设设M( x, y, z )是平面上任意一点是平面上任意一点 M1 M M2 M3 112 M MM M 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四4 4 平面一般方程平面一般方程 的几种特殊情况：的几种特殊情况： (1)00DAxByCz： 平面通过坐标原点；平面通过坐标原点； (2)0:0AByCzD平面平行于平面平行于x轴；轴； (4)0:0ABCzD平面平行于平面平行于xoy坐标面；坐标面； (3)0:0ADByCz平面过平面过x轴；轴； 注：注： 平面的一般方程平面的一般方程 中只有三个 独立的常数，即：三个条件确定一张平面。 中只有三个 独立的常数，即：三个条件确定一张平面。 例如：（例如：（1）三个点；（）三个点；（2）一点加一方向；（）一点加一方向；（3）其它形式三个条件）其它形式三个条件 )0(DCzByAx 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四5 5 ,1, 1, 1 1 n 12, 2, 3 2 n 则：则： 12 10,15,5nnn 10(1)15(1)5(1)0 xyz 化简得化简得2360 xyz 所求平面方程为所求平面方程为 解解 解解149150 xyz 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四6 6 0AxByCz 因为平面过原点，设所求平面方程为因为平面过原点，设所求平面方程为 6320ABC ,2 , 1, 4n 420ABC 2 3 ABC 2230 xyz所求平面方程为所求平面方程为: 解解 平面过点平面过点(6,-3,2), 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四7 7 例4例4 试求过试求过A(4,1,2)、B(-3,5,-1)且垂直于平面且垂直于平面 1 62370 xyz 的平面方程。的平面方程。 解： 法 解： 法2： 1 nABn 再用点法式方程再用点法式方程 法法1： 由三个条件代入一般方程，解方程组确定由三个条件代入一般方程，解方程组确定A、B、C、D 法法3： 1 0,0n ABn n ,n 再用点法式方程再用点法式方程 法法4：设所求平面上一点设所求平面上一点M(x, y, z)， 则 ， 则MA、AB、n1共面共面 412 7430 623 xyz 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四8 8 定义定义 （通常取锐角）（通常取锐角） 1 1 n 2 两平面的法向量之间的夹角称为两平面的夹角。两平面的法向量之间的夹角称为两平面的夹角。 11111 :0A xB yC zD 22222 :0A xB yC zD 1111 ,nA B C 2222 ,nA B C 二、两平面的夹角二、两平面的夹角 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四9 9 则两向量夹角余弦公式：则两向量夹角余弦公式： 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：两平面位置特征： 121212 0A AB BC C 111 222 ABC ABC (3) 1与与2重合重合 (1) 1与与2垂直垂直 (2) 1与与2平行平行 1111 2222 ABCD ABCD 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四1010 例5例5 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系： 013, 012)1(zyzyx 01224, 012)2(zyxzyx (3) 210,20 xyzxyz 解解 22222 | 1 02 11 3|1 cos 60 ( 1)2( 1)13 两平面相交，夹角两平面相交，夹角 1 arccos 60 （1） （ ） （2） 平行（） 平行（3）垂直）垂直 高等数学（下）王丽娜高等数学（下）王丽娜 2015年3月19日星期四2015年3月19日星期四11 11 1111 (,)P xyz 10n d| Pr j PP | 1 P N 解解 三、空间一点到平面的距离三、空间一点到平面的距离 010101 222 ()()()