湖北荆门外高数学一轮检测第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入2731pdf

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业课时作业 27平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 1下列命题中是真命题的是() 对任意两向量 a，b，ab 与 ba 是相反向量； 在ABC 中，AB BCAC0； 在四边形 ABCD 中，(AB BC)(CD DA )0； 在ABC 中，AB ACBC. AB CD 解析：真命题因为(ab)(ba)a(b)b(a)a (a)b(b)(aa)(bb)0，所以 ab 与 ba 是相反向量 真命题因为AB BCACACAC0， 所以命题成立 假命题因为AB BCAC，CD DA CA ， 所以(AB BC)(CD DA )AC CAACAC0，所以该命题 不成立 假命题因为AB ACABCACBBC，所以该命题不成 立故选 A. 答案：A 2设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a |a| b |b|成立的充 分条件是() AabBab Ca2bDab 且|a|b| 解析：a |a|表示与 a 同向的单位向量， b |b|表示与 b 同向的单位向量， 只要 a 与 b 同向，就有 a |a| b |b|，观察选择项易知 C 满足题意 答案：C 3如上图所示，向量OA a，OB b，OC c，A，B，C 在一条 直线上，且AC 3CB，则( ) Ac1 2a 3 2b Bc3 2a 1 2b Cca2b Dca2b 解析：OC OA AC OA 3BC OA 3(OC OB )3OC OA 3OB 2OC OA 3OB ， cOC 1 2a 3 2b. 答案：A 4已知点 O，N 在ABC 所在平面内，且|OA |OB |OC |，NA NB NC 0，则点 O，N 依次是ABC 的() A重心外心B重心内心 C外心重心D外心内心 解析：由|OA |OB |OC |知，O 为ABC 的外心；NA NBNC 0 知，N 为ABC 的重心 答案：C 5已知点 A、B、C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则关于 x 的方程 x2OA xOB OC 0 的解集为() AB1 C. 1 5 2 ，1 5 2D1,0 解析：由条件可知，x2OA x OB 不能和AC 共线，即使 x0 时， 也不满足条件，所以满足条件的 x 不存在 答案：A 6设 M 是ABC 所在平面上一点，且MB 3 2MA 3 2MC 0，D 是 AC 的中点，则|MD | |BM | 的值为() A.1 3 B.1 2 C1D2 解析： 因为 D 为 AC 的中点， 所以MB 3 2(MA MC )3 22MD 3MD ，故 |MD | |MB | 1 3，故选 A. 答案：A 二、填空题 7如图，在ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG 2GO ，若CD AG ，且AD 1 5AB AC(R)，则的值为_ 解析：因为CD AG ，所以存在实数 k，使得CD kAG .CD AD AC 1 5AB (1)AC， 又由BO是ABC的边AC上的中线， BG 2GO ， 得点 G 为ABC 的重心， 所以AG 1 3(AB AC)， 所以1 5AB (1)AC k 3(AB AC)，由平面向量基本定理可得 1 5 k 3 1k 3 ，解得6 5. 答案：6 5 8设向量 e1，e2不共线，AB 3(e1e2)，CBe2e1，CD 2e1 e2，给出下列结论：A，B，C 共线；A，B，D 共线；B，C， D 共线；A，C，D 共线，其中所有正确结论的序号为_ 解析：AC ABCB4e12e2，BD CD CB 3e1，由向量共 线的充要条件 ba(a0)可得 A，C，D 共线，而其他无解 答案： 9已知|OP |3，|OQ | 3，OP OQ ，点 R 在POQ 内，且 POR30，OR mOP nOQ (m，nR)，则m n 等于_ 解析： OR OP OQ mOP nOQ |OP |3m，|OQ | 3n 且 tan30 |OQ | |OP | 3n 3m 3 3 m n 1. 答案：1 三、解答题 10 如图， 在平行四边形 OADB 中， 设OA a， OB b， BM 1 3BC ， CN 1 3CD .试用 a，b 表示OM ，ON 及MN . 解：由题意知，在平行四边形 OADB 中，BM 1 3BC 1 6BA 1 6(OA OB )1 6(ab) 1 6a 1 6b， 则OM OB BM b1 6a 1 6b 1 6a 5 6b.ON 2 3OD 2 3(OA OB )2 3(ab) 2 3a 2 3b.MN ON OM 2 3(ab) 1 6a 5 6b 1 2a 1 6b. 11若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当 t 为何值时，a，tb，1 3(ab)三向量的终点在同一条直线上？ 解：设OA a，OB tb，OC 1 3(ab)， AC OC OA 2 3a 1 3b，AB OB OA tba. 要使 A，B，C 三点共线，只需AC AB. 即2 3a 1 3b(tba)tba. 又a 与 b 为不共线的非零向量， 有 2 3， 1 3t 2 3， t1 2. 当 t1 2时，三向量终点在同一直线上 1在ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN 1 2NC ，P 是 BN 上的 一点，若AP mAB2 9AC ，则实数 m 的值为( ) A.1 9 B.1 3 C1D3 解析： 如图，因为AN 1 2NC ，所以AN 1 3AC ，APmAB2 9AC mAB 2 3AN ，因为 B，P，N 三点共线，所以 m2 31， 所以 m1 3，选 B. 答案：B 2在直角梯形 ABCD 中，A90，B30，AB2 3，BC 2，点 E 在线段 CD 上，若AE AD AB ，则的取值范围是( ) A0,1B0， 3 C. 0，1 2D. 1 2，2 解析：由题意可求得 AD1，CD 3，所以AB 2DC . 因为点 E 在线段 CD 上，所以DE DC (01) 因为AE AD DE ， 又AE AD AB AD 2DC AD 2 DE ， 所以2 1，即 2.因为 01， 所以 01 2，故选 C. 答案：C 3 已知ABC 中， AB a， ACb， 对于平面 ABC 上任意一点 O， 动点 P 满足OP OA ab，则动点 P 的轨迹所过的定点为 _ 解析：依题意，由OP OA ab， 得OP OA (ab)，即AP (ABAC) 如图，以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABDC，对角线交于点 M， 则AP AD ， 所以 A，P，D 三点共线， 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线，由图可知 P 点轨迹必过ABC 边 BC 的中点 M. 答案：边 BC 的中点 4已知 P 为ABC 内一点，且 3AP 4BP5CP0，延长 AP 交 BC 于点 D，若AB a，ACb，用 a，b 表示向量AP，AD . 解：因为BP APABAPa， CP APACAPb， 又 3AP 4BP5CP0. 所以 3AP 4(APa)5(APb)0， 所以AP 1 3a 5 12b. 设AD tAP (tR)，则AD 1 3ta 5 12tb. 又设BD kBC (kR)， 由BC ACABba，得BD k(ba) 而AD AB BD aBD . 所以AD ak(ba)(1k)akb， 由得 1 3t1k， 5 12tk， 解得 t4 3. 代入得AD 4 9a 5 9b. 所以AP 1 3a 5 12b， AD 4 9a 5 9b. 课时作业课时作业 28平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 1设平面向量 a(1,0)，b(0,2)，则 2a3b() A(6,3)B(2，6) C(2,1)D(7,2) 解析：2a3b(2,0)(0,6)(2，6) 答案：B 2若向量 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c 等于() A1 2a 3 2b B.1 2a 3 2b C.3 2a 1 2b D3 2a 1 2b 解析：设 cxayb，则(1,2)x(1,1)y(1，1)(xy，x y) xy1 xy2 解得 x1 2 y3 2 ，则 c1 2a 3 2b，选 B. 答案：B 3已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0，若存在实数 m 使 得AB ACm AM 成立，则 m() A2B3 C4D5 解析：根据题意，由于ABC 和点 M 满足MA MB MC 0，则 可知点M是三角形ABC的重心， 设BC边的中点为D， 则可知AM 2 3AD 2 3 1 2(AB AC)1 3(AB AC)，所以ABAC3AM ，故 m3. 答案：B 4在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP 2PC，点 Q 是 AC 的中 点，若PA (4,3)，PQ (1,5)，则BC 等于( ) A(2,7)B(6,21) C(2，7)D(6，21) 解析：BC 3PC3(2PQ PA )6PQ 3PA (6,30)(12,9)( 6,21) 答案：B 5已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c， 向量 m(ac，ab)，n(b，ac)，若 mn，则C() A. 6 B. 3 C. 2 D.2 3 解析：因为向量 m(ac，ab)，n(b，ac)，且 mn，所 以(ac)(ac)b(ab)0，即 a2b2c2ab0.由余弦定理，得 cosCa 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2.故C 3. 答案：B 6在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC 3CD ，设 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合)，若AO xAB (1x)AC，则 x 的 取值范围是() A. 0，1 2B. 0，1 3 C. 1 2，0D. 1 3，0 解析： 依题意， 设BO BC ， 其中 10，向量 a(m,1)，b(2n,1)，且 ab，则1 m 2 n的最小值是_ 解析：ab，m2n，即 mn2. 又 m0，n0， 1 m 2 n 1 2(mn)( 1 m 2 n) 1 2(1 2m n n m2) 1 2(3 2m n n m) 1 2(32 2) 3 2 2. (当且仅当 n 2m 时，等号成立) 答案：3 2 2 三、解答题 10如上图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC， BC 的中点，已知AM c，AN d，试用 c，d 表示AB，AD . 解：设AB a，AD b. 因为 M，N 分别为 CD，BC 的中点， 所以BN 1 2b，DM 1 2a. 因而 cb1 2a da1 2b a2 32dc， b2 32cd， 即AB 2 3(2dc)，AD 2 3(2cd) 11已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM t1OA t2AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t11 时，不论 t2为何实数，A，B，M 三点都共线 解：(1)OM t1OA t2AB t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2) 当点 M 在第二或第三象限时，有 4t20， 2t14t20， 故所求的充要条件为 t20 且 t12t20. (2)证明：当 t11 时，由(1)知OM (4t2,4t22) AB OB OA (4,4)，AM OM OA (4t2,4t2)t2(4,4)t2AB ， A，B，M 三点共线 1若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为 向量在基底， 下的坐标， 现已知向量 a 在基底 p(1， 1)， q(2,1) 下的坐标为(2,2)，则 a 在另一组基底 m(1,1)，n(1,2)下的坐标 为() A(2,0)B(0，2) C(2,0)D(0,2) 解析：a 在基底 p，q 下的坐标为(2,2)， 即 a2p2q(2,4)， 令 axmyn(xy，x2y)， xy2， x2y4， 即 x0， y2. a 在基底 m，n 下的坐标为(0,2) 答案：D 2平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(1， 3)，若点 C 满足OC OA OB ，其中，R 且1，则点 C 的轨迹方程为() A(x1)2(y2)25B3x2y110 C2xy0Dx2y50 解析：设 C(x，y)，则OC (x，y)，OA (3,1)，OB (1,3)由OC OA OB ，得(x，y)(3，)(，3)(3，3) 于是 x3， y3， 1. 由得1代入，消去得 x41， y32， 再消去得 x2y5，即 x2y50. 答案：D 3给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为 120. 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的AB 上运动若OC xOA yOB ，其中 x，yR，则 xy 的最大值是_ 解析：以 O 为原点，OA 为 x 轴，垂直于 OA 的直线为 y 轴，建 立如图所示的直角坐标系，则 A(1,0)，B 1 2， 3 2 ，设 OC 与 x 轴的 夹角为，则 C(cos，sin) 02 3 ， 由题知(cos，sin)x(1,0)y 1 2， 3 2 ，则 cos1 2yx，sin 3 2 y，故 xycos 3sin2sin 6 ，当 3时，(xy) max2. 答案：2 4 在平面直角坐标系中， O为坐标原点， 已知向量a(2,1)， A(1,0)， B(cos，t)， (1)若 aAB ，且|AB| 5|OA |，求向量OB 的坐标； (2)若 aAB ，求 ycos2cost2 的最小值 解：(1)AB (cos1，t)， 又 aAB ，2tcos10. cos12t. 又|AB | 5|OA |，(cos1)2t25. 由得，5t25，t21.t1. 当 t1 时，cos3(舍去)，当 t1 时，cos1， B(1，1)，OB (1，1) (2)由(1)可知 tcos1 2 ， ycos2coscos1 2 4 5 4cos 23 2cos 1 4 5 4 cos26 5cos1 4 5 4 cos3 5 21 5， 当 cos3 5时，y min1 5. 课时作业课时作业 29平面向量的数量积平面向量的数量积 一、选择题 1(2014新课标全国卷)设向量 a，b 满足|ab| 10，|ab| 6，则 ab() A1B2 C3D5 解析：|ab| 10，(ab)210， 即 a2b22ab10. |ab| 6，(ab)26， 即 a2b22ab6. 由可得 ab1.故选 A. 答案：A 2(2014重庆卷)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a 3b)c，则实数 k() A9 2 B0 C3D.15 2 解析： 由已知(2a3b)c， 可得(2a3b)c0， 即(2k3， 6)(2,1) 0，展开化简得 4k120，所以 k3，故选 C. 答案：C 3已知 A，B，C 为平面上不共线的三点，若向量AB (1,1)，n (1，1)，且 nAC 2，则 nBC等于( ) A2B2 C0D2 或2 解析：nBC n(BAAC)nBAnAC(1，1)(1，1) 2022. 答案：B 4 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知向量OA (2,2)， OB (4,1)， 在 x 轴上取一点 P， 使AP BP有最小值， 则 P 点的坐标是( ) A(3,0)B(2,0) C(3,0)D(4,0) 解析：设 P 点坐标为(x,0) 则AP (x2，2)，BP(x4，1) AP BP(x2)(x4)(2)(1) x26x10(x3)21. 当 x3 时，AP BP有最小值 1. 此时点 P 坐标为(3,0)，故选 C. 答案：C 5在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，点 E 在线 段 AB 上运动，则EC EM 的取值范围是() A. 1 2，2B. 0，3 2 C. 1 2， 3 2D0,1 解析： 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中， 设 E(x,0)，0x1. 又 M 1，1 2 ，C(1,1)， 所以EM 1x，1 2 ， EC (1x,1)， 所以EM EC 1x，1 2 (1x,1)(1x)21 2. 因为 0x1，所以1 2(1x) 21 2 3 2， 即EM EC 的取值范围是 1 2， 3 2 . 答案：C 6(2014天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E， F 分别在边 BC， DC 上， BEBC， DFDC.若AE AF1， CECF 2 3，则( ) A.1 2 B.2 3 C.5 6 D. 7 12 解析： 由于菱形边长为 2，所以 BEBC2，DFDC2，从而 CE22，CF22. 由AE AF1， 得(AB BE)(AD DF ) AB AD AB DF BE AD BE DF 22cos1202(2)2222cos120 24()21， 所以 4()23. 由CE CF2 3， 得(22)(22) 1 2 2 3， 所以 2 3， 因此有 4()2()4 33， 解得5 6，故选 C. 答案：C 二、填空题 7(2014北京卷)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2,1)，且ab 0(R)，则|_. 解析：|b| 2212 5，由ab0，得 ba， 故|b|a|a|，所以|b| |a| 5 1 5. 答案： 5 8已知点 G 是ABC 的重心，若 A60，AB AC4，则|AG | 的最小值是_ 解析：4AB AC|AB|AC|cosA|AB|AC|1 2，得|AB |AC|8， 由三角形重心的性质可得AB AC3AG ，9|AG |2|AB |2|AC|2 2AB AC2|AB|AC|2ABAC282424，|AG |min2 6 3 . 答案：2 6 3 9(2014江西卷)已知单位向量 e1与 e2的夹角为，且 cos1 3， 向量 a3e12e2与 b3e1e2的夹角为，则 cos_. 解析：由已知得 cos ab |a|b| 3e 12e23e1e2 a2 b2 9|e1|29e1e22|e2|2 9|e1|24|e2|212e1e2 9|e1|2|e2|26e1e2， e1与 e2是单位向量，其夹角为，且 cos1 3， |e1|2|e2|21，e1e2|e1|e2|cos1 3. cos 991 32 94121 3 9161 3 2 3 2. 答案：2 2 3 三、解答题 10已知向量 a(1,2)，b(2，2) (1)设 c4ab，求(bc)a； (2)若 ab 与 a 垂直，求的值； (3)求向量 a 在 b 方向上的投影 解：(1)a(1,2)，b(2，2)， c4ab(4,8)(2，2)(6,6) bc26260， (bc)a0a0. (2)ab(1,2)(2，2)(21,22)， 由于 ab 与 a 垂直， 212(22)0，5 2.的值为 5 2. (3)设向量 a 与 b 的夹角为，向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos. |a|cosab |b| 1222 2222 2 2 2 2 2 . 11在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若AB AC CA CBk(kR) (1)判断ABC 的形状； (2)若 k2，求 b 的值 解：(1)AB ACcbcosA，CACBbacosC， bccosAabcosC， 根据正弦定理，得 sinCcosAsinAcosC， 即 sinAcosCcosAsinC0，sin(AC)0， AC，即 ac.即ABC 为等腰三角形 (2)由(1)知 ac，由余弦定理，得 AB ACbccosAbcb2c2a2 2bc b 2 2 . AB ACk2，即b2 2 2，解得 b2. 1已知向量 a(cos，sin)，0，向量 b( 3，1)， 若|2ab|m 恒成立，则实数 m 的取值范围为() A4，)B(4，) C(2，)D(4,10) 解析：2ab(2cos 3，2sin1)， |2ab|2(2cos 3)2(2sin1)288 1 2sin 3 2 cos 8 8sin 3 .又0， 3 3， 2 3 ，sin 3 3 2 ，1 ，|2ab|2的最大值为 16，|2ab|的最大值为 4，又|2a b|4. 答案：B 2在ABC 中，(AB 3AC)CB，则角 A 的最大值为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：由(AB 3AC)CB，得(AB3AC)CB0， 化简可得|AB |cosB3|AC|cos(C)， 即 ca 2c2b2 2ac 3ba 2b2c2 2ab ， 整理得 2a2b2c2，cosA3b 2c2 4bc 2 3bc 4bc 3 2 . 当且仅当3bc 时等号成立 又 0A，所以 0A 6. 答案：A 3 在四边形 ABCD 中， AB DC (1,1)，1 |BA | BA 1 |BC | BC 3 |BD | BD ， 则四边形 ABCD 的面积为_ 解析： 由AB DC (1,1)， 可知四边形 ABCD 为平行四边形， 且|AB |DC | 2，因为 1 |BA | BA 1 |BC | BC 3 |BD | BD ，所以可知平行四边形 ABCD 的 角平分线 BD 平分ABC，四边形 ABCD 为菱形，其边长为 2，且对 角线 BD 长等于边长的 3倍，即 BD 3 2 6，则 CE2( 2)2 6 2 21 2，即 CE 2 2 ，所以三角形 BCD 的面积为1 2 6 2 2 3 2 ， 所以四边形 ABCD 的面积为 2 3 2 3. 答案： 3 4在ABC 中， 3C 2，且 b ab sin2C sinAsin2C. (1)判断ABC 的形状； (2)若|BA BC|2，求BABC的取值范围 解：由 b ab sin2C sinAsin2C可得 b a sin2C sinA ， sinB sinA sin2C s