湖北荆门外高数学一轮测试7第七章文pdf

第七章单元质量检测第七章单元质量检测 时间：120 分钟分值：150 分 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是() A球的三视图总是三个全等的圆 B正方体的三视图总是三个全等的正方形 C水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角 形 D水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析：画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的 视角，其三视图总是三个全等的圆 答案：A 2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为，则球 的体积为() A.8 3 B.8 2 3 C8 2D.32 3 解析：S 圆r2r1，而截面圆圆心与球心的距离 d1，所 以球的半径为 R r2d2 2.所以 V4 3R 38 2 3 ，故选 B. 答案：B 3设、是三个互不重合的平面，m、n 是两条不重合的直线， 下列命题中正确的是() A若，则 B若 m，n，则 mn C若，m，则 m D若，m，m，则 m 解析：对于 A，若，可以平行，也可以相交，A 错；对于 B，若 m，n，则 m，n 可以平行，可以相交， 也可以异面，B 错；对于 C，若，m，则 m 可以在平面内，C 错；易知 D 正确 答案：D 4设 a，b 是不同的直线，是不同的平面，则下列命题： 若 ab，a，则 b； 若 a，则 a； 若 a，则 a； 若 ab，a，b，则. 其中正确命题的个数是() A0B1 C2D3 解析：当 ab，a时 b 与可能相交，所以错误中 a 不一定成立中 a或 a，所以错误正确，所以正确的 有 1 个，所以选 B. 答案：B 5 一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为() A7B.22 3 C.47 6 D.23 3 解析：依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为 23 21 3 1 2111 23 3 . 答案：D 6. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C 均为棱的中点， D 是顶点， 则在正方体中， 异面直线AB和CD 的夹角的余弦值为() A. 2 5 B. 3 5 C. 10 5 D. 5 5 解析： 如图所示，EGF 为 AB 和 CD 所成的角，F 为正方体一棱的中 点 设正方体棱长为 1， 所以 EFGF 5 2 ，EG 2. 所以 cosEGF 10 5 . 答案：C 7. 如图所示，正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为 2 2 ，E 为侧 棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，易得 OEPA，所以所 求角为BEO. 由所给条件易得 OB 6 2 ，OE1 2PA 2 2 ，BE 2. 所以 cosOEB1 2，所以OEB60，选 C. 答案：C 8某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则 该几何体的表面积为() A9214B8214 C9224D8224 解析：由几何体的三视图知该几何体的下半部分是长方体，上半 部分是半径为 2，高为 5 的圆柱的一半所以长方体的表面积为(去掉 一个上底面)2(4445)4592.半圆柱的两个底面积为22 4，半圆柱的侧面积为2510，所以整个组合体的表面积为 924109214. 答案：A 9 如图为棱长是 1 的正方体的表面展开图， 在原正方体中给出下 列三个命题： 点 M 到 AB 的距离为 2 2 ；三棱锥 CDNE 的体积是1 6；AB 与 EF 所成的角是 2 其中正确命题的个数是() A0B1 C2D3 解析： 依题意可作出正方体的直观图如图， 显然 M 到 AB 的距离为 1 2MC 2 2 ，正确；而 VCDNE1 3 1 2111 1 6，正确；AB 与 EF 所成的角等于 AB 与 MC 所成的角，即为 2，正确 答案：D 10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长 为 4 的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球 面上，则该球的表面积是() A12B24C32D48 解析： 该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱 锥，其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，高为 CC14，该几何体 的所有顶点在同一球面上，则球的直径为 AC14 32R，所以球的 半径为 R2 3，所以球的表面积是 4R24(2 3)248. 答案：D 11 如 图 ， 在 正 四 棱 柱 ( 底 面 是 正 方 形 的 直 四 棱 柱)ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 AB1、BC1的中点，则下列结论 不成立的是() AEF 与 BB1垂直 BEF 与 BD 垂直 CEF 与 CD 异面 DEF 与 A1C1异面 解析： 连接 B1C，AC，则 B1C 交 BC1于 F，且 F 为 B1C 的中点， 又 E 为 AB1的中点，所以 EF 綊 1 2AC， 而 B1B平面 ABCD，所以 B1BAC， 所以 B1BEF，A 正确； 又 ACBD，所以 EFBD，B 正确； 显然 EF 与 CD 异面，C 正确； 由 EF 綊 1 2AC，ACA 1C1，得 EFA1C1，故不成立的选项为 D. 答案：D 12 如图， 正三角形 PAD 所在平面与正方形 ABCD 所在平面互相 垂直，O 为正方形 ABCD 的中心，M 为正方形 ABCD 内一点，且满足 MPMC，则点 M 的轨迹为() 解析： 取 AD 的中点 E，连接 PE，PC，CE. 由 PEAD 知，PE平面 ABCD， 从而平面 PEC平面 ABCD，取 PC、AB 的中点 F、G，连接 DF、 DG、FG，由 PDDC 知，DFPC，由 DGEC 知，DG平面 PEC， 又 PC平面 PEC，DGPC， 又 DFDGD，DF平面 DFG，DG平面 DFG， PC平面 DFG，又点 F 是 PC 的中点， 因此线段 DG 上的点满足 MPMC. 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是底边长为 43，高为 2 的等腰三角形，棱锥的高为 2，故体积为 V 1 3 1 24 322 8 3 3 . 答案：8 3 3 14已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面 积为_ 解析： 将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与 正方体各面均相切，所以 2R 2，R 2 2 ，则球的表面积为 S4R2 41 22. 答案：2 15三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PA3，底面 ABC 是边 长为 2 的正三角形，则三棱锥 PABC 的体积等于_ 解析：PA底面 ABC， PA 为三棱锥 PABC 的高，且 PA3. 底面 ABC 为正三角形且边长为 2，底面面积为1 22 2sin60 3，VPABC1 3 33 3. 答案： 3 16三棱锥 SABC 中，SBASCA90，ABC 是斜边 AB a 的等腰直角三角形，则以下结论中： 异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90； 直线 SB平面 ABC； 平面 SBC平面 SAC； 点 C 到平面 SAB 的距离是 1 2a. 其中正确结论的序号是_ 解析： 由题意知 AC平面 SBC，故 ACSB，SB平面 ABC，平面 SBC 平面 SAC，正确；取 AB 的中点 E，连接 CE，(如右图)可证 得 CE平面 SAB，故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离 1 2a，正 确 答案： 三、解答题(共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、 计算过程或证明步骤) 17(10 分)一个几何体是由圆柱 ADD1A1和三棱锥 EABC 组合 而成，点 A，B，C 在圆 O 的圆周上，其正(主)视图，侧(左)视图的面 积分别为 10 和 12，如图所示，其中 EA平面 ABC，ABAC，AB AC，AE2. (1)求证：ACBD. (2)求三棱锥 EBCD 的体积 解：(1)因为 EA平面 ABC，AC平面 ABC， 所以 EAAC，即 EDAC. 又因为 ACAB，ABEDA，所以 AC平面 EBD. 因为 BD平面 EBD，所以 ACBD. (2)因为点 A，B，C 在圆 O 的圆周上，且 ABAC， 所以 BC 为圆 O 的直径 设圆 O 的半径为 r，圆柱高为 h，根据正(主)视图，侧(左)视图的 面积可得， 2rh1 2r210， 2rh1 22r212. 解得 r2， h2. 所以 BC4，ABAC2 2. 以下给出求三棱锥 EBCD 体积的两种方法： 方法 1：由(1)知，AC平面 EBD， 所以 VEBCDVCEBD1 3S EBDCA， 因为 EA平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 EAAB，即 EDAB. 其中 EDEADA224， 因为 ABAC，ABAC2 2， 所以 SEBD1 2EDAB 1 242 24 2， 所以 SEBCD1 34 22 2 16 3 . 方法 2：因为 EA平面 ABC， 所以 VEBCDVEABCVDABC1 3S ABCEA1 3S ABCDA1 3S ABCED. 其中 EDEADA224， 因为 ABAC，ABAC2 2， 所以 SABC1 2ACAB 1 22 22 24， 所以 VEBCD1 344 16 3 . 18(12 分)如图，ABAD，BAD90，M，N，G 分别是 BD， BC，AB 的中点，将等边BCD 沿 BD 折叠成BCD 的位置，使得 ADCB. (1)求证：平面 GNM平面 ADC. (2)求证：CA平面 ABD. 证明：(1)因为 M，N 分别是 BD，BC的中点， 所以 MNDC.因为 MN平面 ADC， DC平面 ADC，所以 MN平面 ADC. 同理 NG平面 ADC.又因为 MNNGN， 所以平面 GNM平面 ADC. (2)因为BAD90，所以 ADAB. 又因为 ADCB，且 ABCBB， 所以 AD平面 CAB. 因为 CA平面 CAB，所以 ADCA. 因为BCD 是等边三角形，ABAD， 不妨设 AB1，则 BCCDBD 2，可得 CA1. 由勾股定理的逆定理，可得 ABCA. 因为 ABADA，所以 CA平面 ABD. 19(12 分) 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别是 CD、A1D1的中点 (1)求证：AB1BF； (2)求证：AEBF； (3)棱 CC1上是否存在点 P， 使 BF平面 AEP？若存在， 确定点 P 的位置，若不存在，说明理由 解： (1)证明：连接 A1B，则 AB1A1B，又AB1A1F，且 A1BA1F A1， AB1平面 A1BF.又 BF平面 A1BF，AB1BF. (2)证明：取 AD 中点 G，连接 FG，BG，则 FGAE， 又BAGADE， ABGDAE. AEBG.又BGFGG， AE平面 BFG. 又 BF平面 BFG，AEBF. (3)存在取 CC1中点 P，即为所求连接 EP，AP，C1D， EPC1D，C1DAB1，EPAB1. 由(1)知 AB1BF，BFEP. 又由(2)知 AEBF，且 AEEPE， BF平面 AEP. 20(12 分) 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上 的点 (1)求证；平面 PAC平面 PBC. (2)设 Q 为 PA 的中点， G 为AOC 的重心， 求证： QG平面 PBC. 证明：(1)由 AB 是圆的直径，得 ACBC； 由 PA 垂直于圆 O 所在的平面，得 PA平面 ABC； 又 BC平面 ABC，得 PABC. 又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC， 所以 BC平面 PAC，又 BC平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC. (2)连接 OG 并延长交 AC 于 M， 连接 QM，QO.由 G 为AOC 的重心，知 M 为 AC 的中点，由 Q 为 PA 的中点，则 QMPC， 又 O 为 AB 的中点，得 OMBC. 因为 QMMOM，QM平面 QMO， MO平面 QMO， BCPCC， BC平面 BPC， PC平面 PBC， 所以平面 QMO平面 PBC. 因为 QG平面 QMO，所以 QG平面 PBC. 21(12 分)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 在棱 CC1 的延长线上，且 CC1C1EBC1 2AB1. (1)求证：D1E平面 ACB1. (2)求证：平面 D1B1E平面 DCB1. (3)求四面体 D1B1AC 的体积 解：(1)连接 AD1，因为 AD1綊 BC1綊 B1E， 所以四边形 AB1ED1是平行四边形，则 D1EAB1. 又 AB1平面 ACB1，D1E平面 ACB1，所以 D1E平面 ACB1. (2)由已知得 B1C2B1E24CE2，则 B1EB1C， 由长方体的特征可知：CD平面 B1BCE，而 B1E平面 B1BCE， 则 CDB1E， 又 B1CCDC，所以 B1E平面 DCB1. 又 B1E平面 D1B1E，所以平面 D1B1E平面 DCB1. (3)四面体 D1B1AC 的体积 VABCDA1B1C1D1VAA1B1D1VBACB1VCB1C1D1 VDACD121 31 1 2124 2 3. 22(12 分)已知等腰梯形 PDCB 中(如图)，PB3，DC1，PD BC 2，A 为 PB 边上一点，且 PA1，将PAD 沿 AD 折起，使 平面 PAD平面 ABCD(如图) (1)证明：平面 PAD平面 PCD. (2)试在棱 PB