江苏常熟高二数学期中

2017-2018学年第一学期期中试卷高二数学第一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.1. 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为_【答案】【解析】斜率为，设倾斜角为，则，有.2. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标为_【答案】【解析】，圆心坐标为.3. 若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为_【答案】平行或异面【解析】若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为平行或异面.4. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_【答案】【解析】当时，两条直线不垂直；当时，两条直线垂直，则，.综上：.5. 已知直线和坐标轴交于、两点，为原点，则经过，三点的圆的方程为_【答案】【解析】直线和坐标轴交于、两点，则，设圆的方程为：，则 ，解得 ，圆的方程为，即.6. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_【答案】【解析】由题得扇形得面积为：，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式：所以圆锥的高为7. 已知，分别为直线和上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.8. 已知，是空间两条不同的直线，是两个不同的平面，下面说法正确的有_若，则；若，则；若，则；若，则.【答案】【解析】若，符合面面垂直的判定定理，则真确；若，则可能平行，也可能相交，故不正确；若，则可能平行，也可能异面；不正确；若，符合线面平行的性质定理，则.正确；填.9. 直线关于直线对称的直线方程为_【答案】【解析】由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.10. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_【答案】【解析】正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，正四棱柱体对角线的长为，又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式，得此球的体积为，故答案为.点睛：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.11. 若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则_【答案】【解析】两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.12. 已知正三棱锥的体积为 ，高为，则它的侧面积为_【答案】【解析】设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.13. 已知，若圆（）上恰有两点，使得和的面积均为，则的范围是_【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线 的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则.14. 已知线段的长为2，动点满足（为常数，），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_【答案】第二卷二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 四棱锥中，底面为直角梯形，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：证明线面可以利用线面平行的判定定理，借助证明平行四边形，寻求线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.试题解析：证：（1）四边形为平行四边形（2）【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上的高所在直线方程；（3）求四边形的面积.【答案】（1）（2）（3）20【解析】试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.试题解析：（1）方法（一）：设，即.法二：中点为，该点也为中点，设，则可得；（2），边上的高的斜率为，边上的高所在的直线方程为：；（3）法一：，到的距离为，又，四边形的面积为.法二：，由余弦定理得四边形的面积为。【点睛】利用坐标法解题是解析几何的一大特点，借助向量工具特别是向量的坐标运算是解析几何与向量联系的纽带，首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）动直线：过定点，斜率为的直线过点，直线和圆相交于，两点，求的长度.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：求圆的方程可以利用圆的标准方程也可设圆的一般方程，利用待定系数法解题，本题如果使用标准方程，则要巧设圆心会更简洁；动直线过定点问题处理方法就是把含参数的放在一起，其余的项放在一起，分别令其为0，求出定点的坐标，根据点斜式写出直线方程，利用圆的弦长公式求出弦长.试题解析：（1）设圆的方程为，则，解得，圆的方程：；（2）动直线的方程为.则得，动直线过定点，直线：，圆心到的距离为，的长为.【点睛】何时设圆的标准方程？何时设圆的一般方程，取决于题目所提供的条件，一般提供圆经过的三个点的坐标使用圆的一般方程较方便，提供圆心或半径方面的条件时一般使用圆的便准方程，求圆的方程可以利用利用待定系数法解题，本题如果使用标准方程，则要巧设圆心会更漂亮.18. 斜棱柱中，侧面面，侧面为菱形，分别为和的中点。（1）求证：平面平面；（2）若三棱柱的所有棱长为，求三棱柱的体积；（3）为棱上一点，若，请确定点位置，并证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）；（3）见解析【解析】试题分析：证明面面垂直，利用面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，因此证明面面垂直首先要证明线面垂直，而证明线面垂直，则需证明线线垂直；求三棱锥的体积，要注意顶点转化、底面转化、平行转化、对称转化、比例转化等.试题解析：（1）；（2），为三棱锥的高，在中，可得，又，；（3），共面，.【点睛】充分利用已知条件寻找线线垂直，进而证明线面垂直，利用面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，因此证明面面垂直首先要证明线面垂直，而证明线面垂直，则需证明线线垂直；求三棱锥的体积，要注意顶点转化、底面转化、平行转化、对称转化、比例转化等.19. 已知圆的圆心在直线上，且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.（1）求圆的方程；（2）若圆心位于第四象限，点是圆内一动点，且，满足，求的范围.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：设圆的标准方程，根据已知条件列方程，利用待定系数法解答，解方程组求出圆心坐标和半径，写出标准方程；设出点P的坐标，写出向量的坐标，根据数量积的坐标运算公式写出数量积的表达式，根据已知x,y所满足的条件，根据P在圆内，得出要求，代入后得出y的范围，最后得到数量积的范围.试题解析：（1）设圆心为，半径为，则有得或，圆：或；（2）圆心在第四象限，圆的方程为，满足，（或），又在圆内，满足且，解得，.【点睛】求圆的方程可以利用圆的标准方程也可设圆的一般方程，利用待定系数法解题何时设圆的标准方程？何时设圆的一般方程，取决于题目所提供的条件，一般提供圆经过的三个点的坐标使用圆的一般方程较方便，提供圆心或半径方面的条件时一般使用圆的便准方程，求圆的方程可以利用利用待定系数法解题，20. 已知，斜率为的直线过点，且和以为圆相切.（1）求圆的方程；（2）在圆上是否存在点，使得，若存在，求出所有的点的坐标；若不存在说明理由；（3）若不过的直线与圆交于，两点，且满足，的斜率依次为等比数列，求直线的斜率.【答案】（1）（2）或；（3）【解析】试题分析：根据直线与圆C相切，则点C到直线的距离为圆的半径，写出圆的方程；设点P的坐标，根据已知条件表示，与圆的方程联立方程组，解方程组求出点P的坐标；存在性问题是高考高频考点，首先假设直线存在，分直线m的斜率不存在和存在两种情况研究，若存在不妨设为k，根据要求求出斜率k的值，得出这样的直线存在，给出斜率k.试题解析：（1）：，直线和圆相切设圆的半径为，则，圆：；（2）设，则由，得，又点在圆上，相减得：，代入，得，解得或，点的坐标为或；（3）若直线的斜率不存在，则的斜率也不存在，不合题意