湖北高三测评活动调考数学理

1 湖北省湖北省 2019 年四月高考模拟调研考试理科数学参考答案年四月高考模拟调研考试理科数学参考答案 一、选择题一、选择题 123456789101112 DDBBCACCCACB 二、填空题二、填空题 13.84；14.2;15. 4 39 4 33 或；16.xy24 2 ； 三、解答题三、解答题 17. 解： （解： （1）当2n时，由1 1n S， n S， 1n S成等差数列得： 11 12 nnn SSS， 即 nnnn SSSS 11 1，即)2(1 1 naa nn ，则)2( 1 1 naa nn ， 又1 12 aa，故 n a是公差为 1 的等差数列；6 分 （2）由（1）知数列 n a公差为 1，由0 n S，4 1n S得4 1n a，即4 1 na， 由0 n S得0 2 ) 1( 1 nn na，即0 2 1 1 n a，联立解得：7n 12 分 18.解： （1）由3AB，4BC，5AC知 222 ACBCAB，则BCAB ， 由PA面ABCD，BC面ABCD得BCPA ， 由AABPA,PA，AB面PAB， 则PABBC面，则点C到平面PAB的距离为一个定值，4BC;4 分 （2）由PA面ABCD，AB为PB在平面ABCD上的射影， 则PAB为直线PB与平面 ABCD所成的角，则 45PAB，所以3 ABPA 由BCAD/，BCAB 得ADAB ，故直线AB、AD、AP两两垂直，因此，以点A 为坐标原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间 直角坐标系，易得)3 , 0 , 0(P，)0 , 3 , 0(D，)0 , 4 , 3(C，于是)3 , 3, 0( DP，)0 , 1 , 3(DC， 设平面PDC的法向量为),( 1 zyxn ，则 0 0 1 1 DCn DPn ，即 03 033 yx zy ，取1x，则 3y，3z，于是)3, 3, 1 ( 1 n；显然)0 , 0 , 1 ( 2 n为平面PAD的一个法向量， 于是， 19 19 )3()3(1 1 ,cos 222 21 21 21 nn nn nn 11 分 2 分析知，二面角CPDA的余弦值为 19 19 12 分 19.解解： （1）由题意知： 32 2 3 ac a c ，解得 2 3 a c ， 由1 222 cab，知椭圆的方程为：1 4 2 2 y x 4 分 （2）设),( 11 yxA，),( 22 yxB，), 1 ( tP， 若直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为1 myx，代入椭圆方程整理得： 032)4( 22 myym，显然0，则 4 2 2 21 m m yy， 4 3 2 21 m yy， 2 2 1 1 21 11x yt x yt kk )1)(1 ( )1)()1)( 21 1221 xx xytxyt )( )()( 21 1221 mymy myytmyyt 21 2121 2)( ymy yyyyt ) 4 3 ( 4 3 2 4 2 2 22 m m mm m t 0 2 3 3 2 3 62 k m t m mt 若直线AB与x轴重合时，则)0 , 2(B，)0 , 2(A，)0 , 4(N，此时t tt kk 3 2 13 21 ， 而tk 3 2 0 ，故 021 2kkk； 综上所述，存在实数2符合题意。12 分 20.解： （1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在8 , 4上的概率为 5 2 4 . 02)06. 014. 0(p， 设“任选 3 台电脑，至少有两台使用时间在8 , 4”为事件A，则 125 44 ) 5 2 ( 5 3 ) 5 2 ()( 33 3 22 3 CCAP4 分 （2） （i）由 bxa ey 得bxayln，即bxat， 3 3 . 0 5 . 510385 9 . 15 . 51075.79 10 10 210 1 2 2 10 1 i i i ii xx t xtx b 55. 35 . 5)3 . 0(9 . 1 a，即55. 33 . 0xt，所以 55. 33 . 0 x ey8 分 （ii）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在2 , 0，4 , 2，6 , 4，8 , 6， 10, 8上的频率依次为：2 . 0，36. 0，28. 0，12, 0，04. 0； 根据（1）中的回归方程， 在区间2 , 0上折旧电脑价格的预测值为26 25. 313 . 055. 3 ee， 在区间4 , 2上折旧电脑价格的预测值为14 65. 233 . 055. 3 ee， 在区间6 , 4上折旧电脑价格的预测值为8 . 7 05. 253 . 055. 3 ee， 在区间8 , 6上折旧电脑价格的预测值为3 . 4 45. 173 . 055. 3 ee， 在区间10, 8上折旧电脑价格的预测值为3 . 2 85. 093 . 055. 3 ee， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为： 032.133 . 204. 03 . 412. 08 . 728. 01436. 0262 . 0（百元） 故该交易市场收购 1000 台折旧电脑所需的的费用为： 1303200032.131000（元）12 分 21.解： （解： （1）由1ln)(ln 2 1 )( 2 xkxxxf得 x kxx xf ln )(， 由题意知0)( x f恒成立，即0lnkxx，设kxxxFln)(， x xF 1 1)(， ) 1 , 0(x时0)( x F，)(xF递减，)1 ( ，x时，0)( x F，)(xF递增； 故01) 1 ()( min kFxF，即1k，故k的取值范围是1 , 4 分 （2）当1k时，)(xf单调，无极值； 当1k时，01) 1 (kF， 一方面，0)( kk eeF，且)(xF在) 1 , 0(递减，所以)(xF在区间) 1 ,( k e有一个零点。 另一方面，keeF kk 2)(，设) 1(2)(kkekg k ，则02)( k ekg，从而)(kg 在), 1 ( 递增，则02) 1 ()(egkg，即0)( k eF，又)(xF在), 1 ( 递增，所以 4 )(xF在区间), 1 ( k e有一个零点。 因此，当1k时)(x f 在) 1 ,( k e和), 1 ( k e各有一个零点，将这两个零点记为 1 x， 2 x)1( 21 xx，当), 0( 1 xx时0)(xF，即0)( x f；当),( 21 xxx时0)(xF，即 0)( x f； 当),( 2 xx时0)(xF， 即0)( x f； 从而)(xf在), 0( 1 x递增， 在),( 21 xx 递减，在),( 2 x递增；于是 1 x是函数的极大值点， 2 x是函数的极小值点。 下面证明：0)( 1 xf，0)( 2 xf 由0)( 1 x f得0ln 11 kxx，即 11 ln xxk，由1ln)(ln 2 1 )( 1 2 111 xkxxxf 得)( 1 xf1ln)ln()(ln 2 1 111 2 11 xxxxx1ln)(ln 2 1 11 2 11 xxxx， 令1ln)(ln 2 1 )( 2 xxxxxm，则 x xx xm ln)1 ( )( ， 当) 1 , 0(x时0)( x m，)(xm递减，则0) 1 ()( mxm，而1 1 x，故0)( 1 xf； 当), 1 ( x时0)( x m，)(xm递减，则0) 1 ()( mxm，而1 2 x，故0)( 2 xf； 一方面，因为01)( 22 kk eef，又0)( 1 xf，且)(xf在), 0( 1 x递增，所以)(xf在 ),( 1 2 xe k 上有一个零点，即)(xf在), 0( 1 x上有一个零点 另一方面，根据)0(1xxex得kek1，则有： 112)1 (112)( 24244 kkkeef kk 0 4 7 ) 4 3 (4 24 kkkk， 又0)( 2 xf，且)(xf在),( 2 x递增，故)(xf在),( 4 2 k ex上有一个零点，故)(xf在 ),( 2 x上有一个零点 又0) 1 (f，故)(xf有三个零点12 分 22.解解： （1）由 sin2 cos22 y x 得022 22 yxx， 将 cos 222 x yx 代入得：cos22，故曲线 1 C的极坐标方程为cos22； 由sin4得sin4 2 ，将 sin 222 y yx 代入得yyx4 22 ，故曲线 2 C的直角 5 坐标方程为04 22 yyx 4 分 （2 设点A、B的极坐标分别为),( 1 ，),( 2 ， 将) 2 0( 分别代入曲线 1 C、 2 C极坐标方程得：cos22 1 ，sin4 2 ， 则) 3 3 cos 3 6 (sin62sin4cos22OBOA)sin(62 ， 其 中为锐角，且满足 3 3 sin ， 3 6 cos ，当 2 时，OBOA 取最大值， 此时 2 ，2 3 3 3 6 sin cos ) 2 cos( ) 2 sin( ) 2