湖南邵东第一中学高二上学期期中考试数学文答案

湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）1 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 2 2018018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 数数 学学 （文科）（文科）教师卷教师卷 本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共 4 页。时量 120 分钟，总分 150 分。考生务必将答案答在答题 卡上，在试卷上作答无效。 一、选择题一、选择题（共 12 小题，每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分） 1. 已知 n a为等差数列,其公差为2,且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项, n S为 n a的前n项和, * nN,则 10 S的值为() A.-110B.-90C.90D.110 答案：D 解析：由题意得 2 739 aaa,又公差2d , 2 333 812aaa, 3 16a , 11038 1033 10()10() 5(5 ) 22 aaaa Saad 5 (16 16 10)110 ,故选 D. 2. 设等差数列 n a的公差为d,若数列 1 2 n a a 为递减数列,则() A.0d B.0d C. 1 0a d D. 1 0a d 答案：D 解析：设 1 2 n a a n b ,则 11 1 2 n a a n b ,由于 1 2 n a a 是递减数列, 则 1nn bb ,即 111 22 nn a aa a .2xy 是单调增函数, 111nn a aa a , 11 0 nn a aa ad, 1 0 nn a aad, 即 1 0ad, 1 0a d 3. 如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论: 命题“p且q”是真命题;命题“p且q”是假命题; 命题“p或q”是真命题;命题“p或q”是假命题, 其中正确的结论是() A.B.C.D. 答案：A 解析： 命题“非p或非q”是假命题,非p,非q均为假命题,p,q均为真命题,故命题“p且q”“ p或q”均为真命题. 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）2 4. 若实数x,y满足 10, 0, 0, xy xy x 则 2 3x y z 的最小值是() A.0B.1C.3D.9 答案：B 解析：作出不等式对应的平面区域,易知2mxy在经过(0,0)点时取得最小值 0,故 20 331 xy z , 故选 B. 5. 一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120,公差为5,那么这个多边形的边数n等于 () A.12B.16C.9D.16或9 答案：C 解析： 由题意得, 1 120151802 2 nn nn ,化简整理,得 2 251440nn, 解得9n 或16n .当16n 时,最大角为12016 15195180 , 不合题意.16n .故选 C. 6. 设点,P x y,其中, x yN,满足3xy的点P的个数为() A.10B.9C.3D.无数个 答案：A 解析：作 3 , xy x yN 的平面区域, 如图所示,符合要求的点P的个数为10,故选 A. 7. 已知平行四边形ABCD的三个顶点为1,2 ,3,4 ,4, 2ABC,点, x y在平行四边形ABCD的内 部,则25zxy的取值范围是() A.14,16B.14,20C.12,18D.12,20 答案：B 解析： 如图,由平行四边形ABCD的三个顶点1,2 ,3,4 ,4, 2ABC可知D点坐标为(0, 4), 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）3 由25zxy知 2 55 z yx, 当直线 2 55 z yx过点3,4B时, min 14z . 当直线 2 55 z yx过点0, 4D时, max 20z. 点, x y在平行四边形ABCD的内部不包括边界, z的取值范围为14,20. 8. 已知1,1xy,且16xy 则 22 loglogxy() A.有最大值 2B.等于 4C.有最小值 3D.有最大值 4 答案：D 解析：1,1xy 22 log0,log0 xy 又16xy 由基本不等式得 2 222 22 logloglog () loglog()4 22 xyxy xy ,当且仅当4xy 时取等号,故选 D。 9. 已知命题 2 :1,2 ,0pxxa ,命题 2 :,220qxR xaxa ,若命题pq是真命题,则实 数a的取值范围是() A. |2a a 或1a B.|1a a C. |2a a 或12aD.| 21aa 答案：A 解析：对于命题p,当1,2x时, 2 0 xa恒成立,所以1a ; 对于命题q,方程 2 220 xaxa有实数解, 所以 2 4480aa,解得1a 或2a , 由于pq是真命题, 所以2a 或1a ,故选 A。 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）4 10. 设椭圆C: 22 22 1 xy ab (0)ab的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,P是C上的点, 212 PFFF, 12 30PFF,则椭圆C的离心率为() A. 3 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 3 答案：D 解析：本题考查的是椭圆的定义与性质,解三角形的有关知识. 如图,在 12 tRPFF中, 12 2FFc, 设 2 PFx,则 1 2PFx, 由 2 12 3 tan30 23 PFx FFc ,得 2 3 3 xc. 由椭圆的定义得： 12 23PFPFax, 3 3 2 axc. 3 33 cc e ac .故选 D. 11. 设定点 1 0, 3F、 2 0,3F，动点P满足条件 12 9 0PFPFaa a ,则点P的轨迹是() A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段 答案：D 解析：0a , 9 6a a 。当 12 9 6aFF a 时, 由点P满足条件 1212 9 a+PFPFFF a 得,点P的轨迹是线段 12 FF. 当 12 9 6aFF a 时,由点P满足条件 1212 9 PFPFaFF a 得, 点P的轨迹是以 1 F、 2 F为焦点的椭圆. 综上,点P的轨迹是线段 12 FF或椭圆,故选 D. 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）5 12. 中心在原点,焦点坐标为 0, 5 2的椭圆被直线320 xy截得的弦的中点的横坐标为 1 2 ,则椭圆 方程为() A. 22 22 1 2575 xy B. 22 22 1 7525 xy C. 22 1 2575 xy D. 22 1 7525 xy 答案：C 解析：由题意,可设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab ,且 22 50ab,即方程 22 22 1 50 yx bb .将直线 320 xy代入,整理成关于x的二次方程.由 12 1xx,可求得 2 25b , 2 75a . 二、填空题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 在等差数列 n a中, n S是它的前n项的和,若 1 0a , 16 0S, 17 0S,则当n _时, n S 最大. 答案：8 解析： 116 1689 117 179 16 80 2 17 170 2 aa Saa aa Sa , 8 0a ,而 1 0a , 数列 n a是一个前8项均为正,从第9项起为负值的等差数列,从而8n 时, n S最大. 14. 若0,0,2abab,则下列不等式对一切满足条件的, a b恒成立的是_(写出所有正确 命题的编号). 1ab;2ab; 22 2ab; 33 3ab; 11 2 ab . 答案： 解析：两个正数,和为定值,积有最大值,即 2 () 1 4 ab ab ,当且仅当ab时取等号,故正确; 2 ()2224abababab,当且仅当ab时取等号,得2ab,故错误; 由于 222 () 1 24 abab ,故 22 2ab成立,故正确; 332222 ()()2()abab abababab, 1ab ,又 22 2ab, 22 1abab， 33 2ab,故错误; 1111 11 12 222 abab ababba ,当且仅当ab时取等号,故正确. 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）6 15. 已知实数, x y满足不等式组 20 40 250 xy xy xy 目标函数zyax aR.若取最大值时的唯一最优解 是1,3,则实数a的取值范围是_. 答案：1, 解析： 如图所示, 依题意直线40 xy与20 xy交于1,3A,此时取最大值,故1a . 16. 已知椭圆 22 :1. 94 xy C点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段 MN的中点在C上,则ANBN=_. 答案：12 解析：解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为 1 5,0F ,右焦点为 2 5,0F . 则( , )M m n关于 1 F的对称点为 2 5,Amn ,关于 2 F的对称点为 2 5,Bmn, 设MN的中点为( , )x y,所以 22 22 5222 52ANBNxyxy 22 255xyxy 故由椭圆定义可知2 612.ANBN 解法二:根据已知条件画出图形,如图,设MN的中点为P, 12 ,F F为椭圆C的焦点,连接 12 ,PF PF, 显然, 12 ,PF PF分别是,MANMBN的中位 线, 1212 222()2 612.ANBNPFPFPFPF 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）7 三、三、解答题解答题（本大题共 7 小题，满分 70 分） 17.（10 分） 已知等比数列 n a中, 1 1 3 a ,公比 1 3 q . (1). n S为 n a的前n项和,证明: 1 2 n n a S ; (2).设 31323 logloglog nn baaa,求数列 n b的通项公式. 答案：1.证明:因为 1 111 333 n n n a , 11 1 1 1 33 3 1 2 1 3 n n n S ,所以 1 2 n n a S . 2.因为 31323 logloglog nn baaa (1) (12) 2 n n n . 所以 n b的通项公式为 (1) 2 n n n b . 18.（12 分） 已知椭圆的离心率为,其中左焦点为. (1).求椭圆的方程; (2).若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的中点在圆上,求 的值. 答案： 1.由题意,得解得 椭圆的方程为. 2.设点、的坐标分别为,线段的中点为. 由消去 得, . 点在圆上,. 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）8 19.（12 分） 已知p: 2 290 xxa,q: 2 2 430 680 xx xx ,且q是p的必要条件,求实数a的取值范 围. 答案：由 2 2 430 680 xx xx ,得 13, 2 4 x x 即23x.q:23x. 设 2 |290Axxxa,|23Bxx,pq ,qp,BA. 即23x满足不等式 2 290 xxa.设 2 29f xxxa, 要使23x满足不等式 2 290 xxa,需 20, 30, f f 即 8 180, 18270. a a 9a ,故所求实数a的取值范围是|9a a . 解析： 20.（12 分） 经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎 接 2018 年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促 销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足 2 3 1 p x (其中0 xa,a为正常数). 已知生产该产品还需投入成本102p万元(不含促销费用),产品的销售价格定为 20 4 p 元/件,假定厂家 的生产能力完全能满足市场的销售需求. (1).将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数; (2).促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值. 答案：1. 由题意知, 20 4102ypxp p , 将 2 3 1 p x 代入化简得: 4 160 1 yxxa x . 2. 14 171172113 11 yxx xx , 当且仅当 4 1 1 x x ,即1x 时,上式取等号. 当1a 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 当1a 时, 4 171 1 yx x 在0, a上单调递增, 所以xa时,函数有最大值,即促销费用投入a万元时,厂家的利润最大. 综上,当1a 时,促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当1a 时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大. 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）9 21.（12 分） 已知数列 n a满足 11 1 1,1 4 n n aa a ,其中 * nN. (1).设 2 21 n n b a ,求证:数列 n b是等差数列,并求出 n a的通项公式; (2).设 4 1 n n a c n ,数列 2nn c c 的前n项和为 n T,是否存在正整数m,使得 1 1 n mm T c c 对于 * nN恒成立? 若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由. 答案：1. 1 1 22 2121 nn nn bb aa 22 211 2 11 4 n n a a 42 2 2121 n nn a aa (常数),数列 n b是等差数列. 1 1a , 1 2b . 因此2122 n bnn, 由 2 21 n n b a 得 1 2 n n a n . 2.由 41 , 12 n nn an ca nn 得 2 n c n , 2 411 2 (2)2 nn c c n nnn , 1111111 2 1 324352 n T nn 111 2 13 212nn , 依题意要使 1 1 n mm T c c 对于 * nN恒成立, 只需 1 1 3 mm c c ,即 (1) 3 4 m m , 解得3m或4m, 又m为正整数,所以m的最小值为3. 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）10 22.（12 分） 椭圆C 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右焦点分别是 12 ,F F,离心率为 3 2 ,过 1 F且垂直于x 轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1).求椭圆C的方程; (2).点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接 1 PF, 2 PF,设 12 FPF的角平分线PM交C的长轴于点 ,0M m,求m的取值范围; (3).在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线 1 PF, 2 PF的 斜率分别为 12 ,k k.若0k ,试证明 12 11 kkkk 为定值,并求出这个定值. 答案：1.由于 222 cab,将xc 代入椭圆方程 22 22 1 xy ab ,得 2 b y a . 由题意知 2 2 1 b a ,即 2 2ab,又 3 2 c e a ,所以2,1ab.所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 2.方法一: 设 000 (,)(0)P xyy ,又 1 3,0F , 2 3,0F,所以直线 12 ,PF PF的方程分别为 1 000 :330 PF ly xxyy, 1 000 :330 PF ly xxyy. 由题意知 0000 22 22 0000 33 33 myymyy yxyx . 由于点P在椭圆上,所以 2 2 0 0 1 4 x y. 所以 22 00 33 33 22 22 mm xx . 因为33m, 0 22x ,可得 00 33 33 22 22 mm xx , 所以 0 3 4 mx, 因此 33 22 m. 湖南省邵东一湖南省邵东一中中 20182018 年下年下学期高学期高二年级二年级第第 2 2 次月考次月考试题试题 教师卷教师卷 数数 学学 （文科）（文科）11 方法二: 设 00 (,)P xy,当 0 02x时, 当 0 3x 时,直线 2 PF的斜率不存在, 易知 1 3, 2 P 或 1 3, 2 P . 若 1 3, 2 P ,则直线 1 PF的方程为4 330 xy. 由题意得 3 3 7 m m ,因为33m,所以 3 3 4 m . 若 1 3, 2 P ,同理得 3 3 4 m . 当 0 3