江苏高考数学一轮复习突破140必备07直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆隐形圆问题学案

专题07 直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆（隐形圆）问题知识点归纳：1、 圆的标准方程：，圆心，半径圆的一般方程：当时，才能表示圆，圆心，半径当，表示一个点当，不表示任何图形2、 直线与圆的位置关系设圆的标准方程：，直线方程：判别方法1：设圆心到直线的距离为，若，直线与圆相离；若，直线与圆相切；若，直线与圆相交；判别方法2：将直线与圆联立方程组消元得到一个关于或者的一元二次方程，若，直线与圆相交；若，直线与圆相切；若，直线与圆相离；3、 圆与圆的位置关系设圆的方程，圆的圆心距为，的半径为，的半径为若，两圆相外离；若，两圆相外切；若，两圆相交；若，两圆相内切；若，两圆相内含；4、 圆系方程设直线与圆相交，则过两交点的圆的方程为设圆，圆相交，则过两交点的圆的方程为注：时，表示过两交点的圆；时，表示过两交点的直线方程，即圆与圆的相交弦所在的直线方程 以，为直径端点的圆的方程五、阿波罗尼斯圆动点到两定点的距离的比值为一定值，即，且的点的轨迹是圆.当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线，将其称之为阿波罗尼斯圆 江苏高考中每年都会有圆的试题，填空题和解答题甚至应用题中都有可能出现，考点也不外乎上述的知识点总结，下面我们通过实例来看看每个知识点的考法。例1、（2013江苏卷17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.考点：圆的切线方程，阿波罗尼斯圆，圆与圆的位置关系解：（1）由得圆心为，圆的半径为圆的方程为：显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即或者所求圆的切线方程为：或者即或者（2）圆的圆心在在直线上，所以，设圆心为则圆的方程为：又设M为（x,y）则整理得：设为圆 点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点由得由得终上所述，的取值范围为：例2、（2016年江苏高考18）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围考点：圆的标准方程，直线与圆相交、相切解：（1）因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，又圆与圆外切，圆：，则，解得，即圆的标准方程为 （2）由题意得， 设，则圆心到直线的距离，则，即，解得或，即：或例3、（2017江苏高考13）在平面直角坐标系中，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是 考点：圆的轨迹，圆与圆相交交点解：设，则，因为，所以，化简得故点的轨迹表示为圆上的点和园内的所有点圆与圆相交的交点横坐标通过联立两圆的方程解得交点横坐标为或结合图像可得点的横坐标范围为例4、（2017六市高三二模18）一缉私艇巡航至距领海边界线（一条南北方向的直线）海里的处，发现在其北偏东方向相距海里的处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：，）领海AB北30公海l（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由考点（2）阿波罗尼斯圆解：（1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图1）， 依题意， 在中，由正弦定理得， 因为，所以 从而缉私艇应向北偏东方向追击ABC图1。在中，由余弦定理得，解得 又到边界线的距离为 因为，所以能在领海上成功拦截走私船 （2）如图2，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系y公海领海AB图260 lx则，设缉私艇在处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则，即整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆 因为圆心到领海边界线：的距离为，大于圆半径，所以缉私艇能在领海内截住走私船 答：（1）缉私艇应向北偏东方向追击； （2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船 1、（2017盐城高三三模13）已知四点共面，则的最大值为 考点：圆的轨迹2、（2017苏北四市高三上学期期中17）如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，求直线的方程；（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由考点：直线与圆位置关系，圆的轨迹，圆与圆位置关系解：（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为因为，所以直线的斜率为设直线的方程为则圆心到直线的距离为因为，而，所以 解得或，故直线的方程为或 3、（2016南通高三一模11）在平面直角坐标系中，点.若直线上存在点，使得,则实数的取值范围是考点：阿波罗尼斯圆，直线与圆的位置关系解：设，因为，所以化简得，直线与圆有交点，即，所以4、（2016扬州高三期中19）已知直线与圆相交，截得的弦长为（1）求圆的方程；（2）过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于、两点（异于原点）证明：直线与圆相切；（3）若抛物线上任意三个不同的点、，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明考点：圆的方程，直线与圆位置关系解：