江苏高邮界首中学高三数学复习第7课时数列的综合应用导学案无答案

第7课时 数列的综合应用【学习目标】1.掌握数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2.掌握运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力【预习内容】 1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见题型银行储蓄单利公式设本金为，每期利率为，存期为，则本利和 银行储蓄复利公式设本金为，每期利率为，存期为，则本利和 产值模型设第一年产值为，年增长率为，则年内的总产值 分期付款问题设某商品价格为，以等额分期付款的形式分次付清，若每期利率为，则每期应付款【课前练习】1.已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为 解析由题意知：aa1a4.则(a22)2(a22)(a24)，解得：a26.2. 等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4 解析设数列an的公比为q，则4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S415.3.已知数列an是各项均为正数的等比数列，数列bn是等差数列，且a6b7，则有 a3a9b4b10；a3a9b4b10a3a9b4b10；a3a9与b4b10的大小关系不确定解析记等比数列an的公比为q(q0)，由数列bn为等差数列可知b4b102b7，又数列an是各项均为正数的等比数列，a3a9a3(1q6)a6b7，又q32(当且仅当q1时，等号成立)，a3a92b7，即a3a9b4b10.4.设数列an的前n项和为，点均在函数y=3x-2的图象上则数列an的通项公式为5.银行里的年存款利率为，某人于年初存入万元，若按单利计算利息，则年后，连本带息，该人有万元；若复利计算，则年后，连本带息，该人有万元（不扣除利息税）。【典型示例】题型一 等差数列与等比数列的综合应用【例1】在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项an；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列审题视点 第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得an12(n1)22n10.(2)证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4.bn是首项是4，公比q4的等比数列 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法变式：设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析因为a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a11，所以a3q，a5q2，a7q3.因为a2，a4，a6成公差为1的等差数列，所以a4a21，a6a22.法一：因为1a1a2a7，所以即法二：a6a223，即a6的最小值为3.又a6a7，所以a7的最小值为3即q33，解得a .故q的最小值为.答案题型二数列与函数的综合应用【例2】(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.审题视点 第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)问错位相减求和解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn ，两式相减得Tn，Tn. 此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等变式：是上的函数，对于任意和实数，都有，且。 （1）求的值； （2）令，求证：为等差数列； （3）求的通项公式。解：（1）令；再令 （2） 令代入已知得： （3）。题型三数列与不等式的综合应用【例3】(2011惠州模拟)在等比数列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn；(3)是否存在kN*，使得k对任意nN*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由审题视点 第(1)问由等比数列的性质转化为a3a5与a3a5的关系求a3与a5；进而求an；第(2)问先判断数列bn，再由求和公式求Sn；第(3)问由确定正负项，进而求的最大值，从而确定k的最小值解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，(a3a5)225，又an0，a3a55，又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51，q，a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn.(3)由(2)知Sn，.当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或9时，18最大故存在kN*，使得k对任意nN*恒成立，k的最小值为19. 解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理变式：已知函数f(x)(x1)2，g(x)10(x1)，数列an满足a12，(an1an)g(an)f(an)0，bn(n2)(an1)(1)求证：数列an1是等比数列；(2)当n取何值时，bn取最大值？并求出最大值；(3)若对任意mN*恒成立，求实数t的取值范围解：(1)证明：因为(an1an)g(an)f(an)0，f(an)(an1)2，g(an)10(an1)，所以10(an1an)(an1)(an1)20，整理得(an1)10(an1an)an10，所以an1或10(an1an)an10.由得数列an是各项为1的常数列，而a12，不合题意由整理得10(an11)9(an1)，又a111，所以an1是首项为1，公比为的等比数列(2)由(1)可知an1()n1，nN*，所以bn(n2)(an1)(n2)()n0，所以(1)当n7时，1，即b7b8；当n7时，1，即bn1bn；当n7时，1，即bn1bn.所以当n7或8时，bn取得最大值，最大值为b8b7.(3)由得tm0.(*)由题意知，(*)式对任意mN*恒成立当t0时，(*)式显然不成立，因此t0不合题意；当t0时，由0可知tm0(mN*)，而当m为偶数时，tm0, 因此t0不合题意；当t0时，由tm0(mN*)知，0，所以t(mN*)令h(m)(mN*)因为h(m1)h(m)0，所以h(1)h(2)h(3)h(m1)h(m)，所以h(m)的最大值为h(1).所以实数t的取值范围是(，)题型四数列应用题例4、假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中，则令 即，而是正整数，。到年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于万平方米。（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，其中，则，由题意可知有。故满足上述不等式的最小正整数，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%。【选题意图】1、一般地，若增加（或减少）的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，若增加（或减少）的量是一个固定的百分数时，该模型是等比模型；2、本题要求不等式的整数解，原则上应使用计算器解得，也可以运用代入数值验证来解得。变式：某企业年的纯利润为万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少万元，今年初该企业一次性投入资金万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元（为正整数）。（1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：（1）依题设，；（2）因为函数在上为增函数，当时，；当时，。仅当时，。答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。 【课堂练习】1(2014无锡期末)已知等差数列的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，则a20_.解析：设的首项为a，则a，a4，a6成等比数列，则(a4)2a(a6)，解得a8.又公差d2，所以a20a19d819(2)30.答案：302(2013泰州期末)通项公式为anan2n的数列，若满足a1a2a3a4a5，且anan1对n8恒成立，则实数a的取值范围是_解析：因为a1a2a3a4a5，即a14a29a316a425a5，所以a.因为anan1对n8恒成立，即an2na(n1)2(n1)，所以a.因为2n117，所以.要使得a对n8恒成立，则a.综上，a.答案：(，)3在等差数列an中，a12，a36，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_解析：由题意知等差数列an的公差d2，则a48，a510，设所加的数为x，依题意有(8x)2(2x)(10x)，解得x11.答案：114(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得100，即2n51，而2532,2664，nN*，所以n6.答案：65已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，数列bn为等比数列，且首项b11，b48.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnabn，求数列cn的前n项和Tn；解：(1)数列an的前n项和为Sn，且Snn2，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.当n1时，a1S11亦满足上式，故an2n1(nN*)又数列bn为等比数列，设公比为q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN*)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.【课堂小结】1熟练把握等差数列与等比数列的基本运算将