福建福州八、区一中高二数学上学期期中联考

1 2019201920202020 学年度第一学期八县（市学年度第一学期八县（市、区、区）一中期中联考）一中期中联考 高二数学答案高二数学答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A B D D B B A C C A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、01m 14、2150 xy 15、8 16、 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17. （本题满分 10 分=5 分+5 分） 解： （）由:p40 x x，得04x 1 分 当2a 时，由q：(1 2)1 20 xx ， 得13xx 或 :q13xx 或 2 分 pq为真命题，p真且q真 04 34 13 x x xx 或 4 分 实数x的取值范围为34x 5 分 （）因为0a ，由:q(1)(1)0 xa xa 得110axa a 7 分 设 |04, |11,0AxxBxaxa a p是q的必要不充分条件， BA 8 分 10 14 a a 9 分 又0a 01a 10 分 实数m的取值范围为01a . 18. （本小题满分 12 分=6 分+6 分） 2 解： （）依题可知双曲线的焦点在y轴上， 则设其方程为： 22 22 1(0,0) yx ab ab ，且3c 2 分 双曲线的渐近线方程为xy2即2 a b 3 分 又 222 abc，由2,1ab5 分 得双曲线方程为： 2 2 1 2 y x6 分 （）设轨迹上任一点M的坐标为, x y，点P的坐标为 00 ,xy， 则依题意可知D点坐标为 0 0, y8 分 PD的中点为M， 0 0 0 0 2 ,2 x xxx yy yy 即10 分 点P 在圆 22 3xy上运动， 0 22 0 3xy 22 43xy，11 分 经检验所求方程符合题意, 点M的轨迹方程为 22 1 3 3 4 xy （轨迹方程是 22 43xy不扣分）12 分 19(本小题满分 12 分=4 分+8 分) （）证法一：设ACBDN，连接NE，,M N分别是,EF AC的中点， ACEF是矩形,EMNA EM NA=四边形ANEM是平行四边形.2 分 AMEN, 又ENBDE平面, AMBDE平面,AMBDE平面.4 分 证法二：正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且 ABCDACEFAC平面平面,ECACEF平面, ECACECABCD平面，,CE CD CB两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz1 分 设ACBDN，连接NE，依题意得0 0 0C， ，, 2,0 0D， , 02,0B，, 22,0A，, 0,0 1E，, 3 2, 2 1F，,点,N M分别是线段,AC EF的中点， 22 0 , 22 N ， 22 1 , 22 M ， 2 分 22 1 , 22 NE ，-， 22 1 22 AM ，-，. ,NEAM，且直线NE与AM不共线3 分 NEAM,又NE平面BDE，AM 平面BDE,AM平面BDE.4 分 （）解：正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, 且 ABCDACEFAC平面平面,ECACEF平面,ECACECABCD平面， ,CE CD CB两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz6 分 设ACBDN，连接NE，依题意得 0 0 0C， ，, 2,0 0D， , 02,0B， , 22,0A，,0,0 1E，, 2, 2 1F，, 22 0 ,DB ， ， 02 1 ,DF ， ，7 分 设nxyz， ，为平面BDF的一个法向量 , 则 0 0 nDB nDF ,得 220 20 xy yz 令1y 得1,2xz 即 1 12n ， 8 分 另ECABCD平面,ABABCD平面,ECAB,又,ABCD且ECCDC, ABADF平面, 2 0 0AB ， ，是平面ADF的一个法向量（求出平面ADF的法向量 1 0 0m ，亦可）9 分 cos, n AB= nAB nAB = 1200 1 1 22 = 1 2 11 分 设二面角BDFA的大小为(由图可知为锐角)， 故所求二面角BDFA的大小为 60 12 分 4 20 （本小题满分 12 分=5 分+7 分） 解： （）依题意得抛物线的准线为 2 p x ，1 分 抛物线上一点 3 , 2 Mm 到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得 3 2 22 p ， 1p ，2 分 抛物线的方程为 2 2yx，3 分 2 3 2,3 2 mm 抛物线的方程， 3 ,3 2 M 5 分（只有一个扣 1 分） （）当直线l的斜率不存在时不符合题意，故直线l的斜率k必存在且不为0 .6 分 直线l过点1,0P,设直线l的方程为 10yk xk ， 当0 x 时y k ，点Q坐标为 0, k ，7 分 设 1122 ,A x yB xy 由 2 2 ykxk yx 得 2 2 y ykk，整理得 2 220kyyk 2 0,4 80kk ， 1212 2 ,2yyy y k 9 分 11 ,QAx yk ， 11 1,PAxy QAPA, 1111 ,1,x ykxy ， 11, yky 即 1 1 , yk y 同理可得 2 2 , yk y 11 分 1212 12 1212 2 2 21 2 y yk yyykyk k k yyy y 即是定值. 12 分 21 （本小题满分 12 分=5 分+7 分） 解： （）证明：连接BE,在等腰梯形 ABCD中，2ADABBC，4CD ， E为CD中点，四边形ABED为菱形，BDAE，2 分 ,OBAE ODAE，即,OBAE OPAE,且,OBOPOOB 平面,POB 5 OP 平面POB，AE平面 POB4 分 又 AE平面 ABCE， 平面 POB平面 ABCE5 分 （）由（）可知四边形ABED为菱形，2,ADDE在等腰梯形 ABCD 中 2,AEBCPAE正三角形3OP，同理3OB 6PB , 222 OPOBPB ,OPOB，6 分 由（）可知,OPAE OBAE，以 O 为原点，,OE OB OP分别为 x 轴， y轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，7 分 由题意得，各点坐标为 0,03P,，1,0,0A ， 0, 3,0B， 2, 3 0C,，1,0,0E (0, 3,3),(2, 3,3)PBPC，(2,0,0),AE 设01PQPB (1, 3 , 33 )AQAPPQAPPB 8 分 设平面AEQ的一个法向量为n(x，y，z) 则 0 0 n AE n AQ ，即 20 3330 x xyz 取 x0，y1，得 1 z ，所以n(0，1， 1 ) 9 分 设直线PC与平面AEQ所成角为 0 2 ， ， 则 15 sincos, 5 PC n PC n PC n ，即 2 33 151 5 10 1 () 1 化简得： 2 4410 ，解得 2 1 11 分 存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为 15 5 12分 O EDC BA 6 22.（本小题满分 12 分） 解： （I）椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， ,2bc ab，1 分 当1x 时， 22 2 1 (1)yb a 1 2 ， 22 2,1ab，3 分 椭圆的方程是 2 2 1 2 x y4 分 （II）解法一：设 00 (,),(0,),(0, )P x yMm Nn， 由 2 2 22 1, 2 (1)1, x y xy 得22x ， 0 2,00,22x 5 分 直线PM的方程: 0 0 ym ymx x ，化简得 000 ()0ym xx yx m 又圆心(1,0)到直线PM的距离为 1， 00 22 00 1 () ymx m ymx ，6 分 22222 000000 ()()2()ymxymx m ymx m，化简得 2 000 (2)20 xmy mx， 同理有 2 000 (2)20 xny nx 7 分 0 0 2 2 y mn x ， 0 0 2 x mn x ，8 分 2 ()MNmnmn 22 000 2 0 448 (2) xyx x 9 分 00 (,)P xy是椭圆上的点， 2 2 0 0 1 2 x y， 22 000 222 000 2842(2)44 2 (2)(2)(2) xxx MN xxx ，10 分 2 4 2 2 f x x 在2,0)上单调递减， 在(0,22)内也是单调递减，11 分 0,11,221f x ，当 0 2x 时，MN取得最大值221， 7 此时点 P 位置是椭圆的左顶点(2,0) 12 分 解法二：由 2 2 22 1, 2 (1)1, x y xy 得22x ， 0 2,00,22x 5 分 设过点 P 的圆的切线方程为ykxb，圆心(1,0)到直线PM的距离为 1， 2 1 1 kb k ，化简得 2 1 2 b k b ， 2 1 2 b yxb b 6 分 设 00 (,),P xy则 2 000 (2)20 x by bx，7 分 0 12 0 2 2 y bb x ， 0 1 2 0 2 x bb x ，8 分 2 1212 ()MNbbbb 22 000 2 0 448 (2