福建福州八、区一中高二数学期末联考

高二数学参考答案（第 1 页 共 8 页） 20192020 学年第一学期福州市高二期末质量抽测 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1C 2D 3B 4A 5C 6A 7C 8B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9AC 10AC 11ABD 12ABC 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 131y 14 3 2 1521 162； 2 5 5 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17 【解答】 （1）(2i)(1 i)(2)(2)izmmm 3 分 由 20, 20 m m 5 分 得2m 6 分 （2）由（1）知，22 izmm， 7 分 因为复数z在复平面上对应的点在第四象限， 所以 20, 20, m m 9 分 解得2m ， 高二数学参考答案（第 2 页 共 8 页） 所以m的取值范围为, 2 10 分 18 【解答】解法一： （1）依题意，,A B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，E的焦点在x轴 上 2 分 设E的方程为 22 22 1 xy ab （0ab ） ，则2,1ab， 4 分 所以E的方程为 2 2 1 2 x y 5 分 （2）设 1122 ,P x yQ xy，不妨设 12 yy， 依题意，直线l的方程为1yx 6 分 由 22 1, 22 yx xy 得 2 3210yy ， 7 分 解得 12 1 ,1 3 yy ， 8 分 记点1,0为F，则 OPQOFPOFQ SSS 9 分 12 1 2 OF yy 11 分 14 1 23 2 3 所以OPQ的面积为 2 3 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 （2）设 11 (,)P x y， 22 (,)Q xy，不妨设 12 xx 依题意，直线l的方程为1yx 6 分 由 22 1 22 yx xy ，得 2 340 xx， 7分 解得 1 0,x 2 4 3 x ， 8分 高二数学参考答案（第 3 页 共 8 页） 所以 2 12 44 11 102 33 PQkxx ， 9分 原点O到直线l的距离 12 21 1 d ， 10分 所以 1 2 OPQ SPQ d 11分 142 2 232 2 3 所以OPQ的面积为 2 3 12分 19 【解答】 （1）依题意， 2 ( )23fxmxmx， 2分 因为 f x在3x 处有极小值， 所以 3330fm， 3分 解得1m 4分 经检验，1m 符合题意，故m的值为1 5分 （2）由（1）得 2 ( )23fxxx，令 0fx，得3x 或1x 7分 当x变化时， ,fxf x的变化情况如下表： x 4 4, 1 1 1,33 3,4 4 fx 0 0 f x 70 3 11 3 7 14 3 10分 由上表可知， f x的最小值为 70 3 ； 11分 f x的最大值为 11 3 12分 高二数学参考答案（第 4 页 共 8 页） 20 【解答】 （1）证明：过点B作BFCD，垂足为F，则1EFAB，DECF 1 2 CDEF ， 1分 连接BE， 依题意，AED为等腰直角三角形， 故1,AEDE 又AEDE，故AEAB，所以 22 2EBEAAB， 2分 在四棱锥PABCE中，因为3PB，1PEDE， 所以 222 PEEBPB，故PEEB， 3分 因为PEEA，EAEBE，且,EA EB 平面ABCE， 所以PE 平面ABCE 5分 （2）由（1）知，PE 平面ABCE，所以PEEA，PEEC，又AEEC，所以 ,EA EC EP两两垂直 以E为原点， 分别以,EA EC EP 的方向为, ,x y z轴的正方向， 建 立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为： (0,0,0)E，(0,0,1)P，(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,2,0)C， 6分 (1,0, 1)PA ，(0,2, 1)PC ，( 1,1,0)BC ， 7分 设平面PBC的法向量为( , , )x y zn，则 0, 0, PC BC n n 故 20, 0, yz xy 取1y ，故(1,1,2)n 9分 所以 13 cos, 626 PA PA PA n n n 11分 设直线PA与平面PBC所成角为，则sin 3 cos,= 6 PAn 12分 21 【解答】解法一： （1）连接MF，则MDMF， 1分 则根据抛物线的定义， 点M的轨迹是以(1,0F）为焦点，直线1x 为准线的抛物线 3分 则点M的轨迹的方程为 2 4yx 5分 （2）设直线PQ的方程为1xmy， 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy， P A B C E x z y AB CDEF 高二数学参考答案（第 5 页 共 8 页） 联立 2 4 1 yx xmy 整理得： 2 440ymy， 2 16160m ， 12 4yym， 12 4y y 6分 直线OP的方程为 1 11 4y yxx xy ， 同理：直线OQ的方程为 2 4 yx y ， 7分 令1x 得， 1 4 (1,)A y ， 2 4 (1,)B y ， 设AB中点T的坐标为(,) TT xy，则1 T x， 1212 12 44 2() 2 2 T yyyy ym y y ， 所以(1, 2 )Tm 2 2112122 1212 44 ()4 44 =1616 4 yyyyy y ABm yyy y 圆的半径为 2 1616 2 m r 所以以AB为直径的圆的方程为 222 (1)(2 )44xymm 展开可得 22 (1)44xymy， 9分 令0y ,可得 2 (1)4x，解得3x 或1x 11分 所以以AB为直径的圆经过定点( 1,0)和(3,0) 12分 解法二： （1）同解法一 5分 （2）当直线PQ不与x轴垂直时，设其方程为(1)yk x（0k ） ， 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy， 由 2 4 , (1) yx yk x 得， 2222 (24)0k xkxk， 所以 2242 (24)416160kkk ， 2 12 2 24k xx k ， 12 1x x 6分 高二数学参考答案（第 6 页 共 8 页） 所以 22 12121212 1114y ykxxkx xxx ， 211221121212 4 112x yx ykxxkxxkx xxx k ， 7分 直线OP的方程为 1 1 y yx x ，同理可得，直线OQ的方程为 2 2 y yx x ， 令1x 得， 12 12 1,1, yy AB xx ， 所以以AB为直径的圆的方程为 2 12 12 10 yy xyy xx ， 9分 即 2 2212112 1212 10 x yx yy y xyy x xx x ， 即 2 2 4 140 xyy k ， 令0y ,可得 2 14x ，解得3x 或1x 所以以AB为直径的圆经过定点( 1,0)和(3,0) 10分 当直线PQ与x轴垂直时，1,2 ,1, 2AB，以AB为直径的 圆的方程为 2 2 14xy，也经过点( 1,0)和(3,0) 11分 综上，以AB为直径的圆经过定点( 1,0)和(3,0) 12分 解法三： （1）同解法一 5分 （2） 假设以AB为直径的圆经过定点， 由抛物线关于x轴对称可知该定点必在x轴上， 设定点为( ,0)T t，则0AT BT ， 6分 设直线PQ的方程为1xmy， 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy， 联立 2 4 1 yx xmy 整理得： 2 440ymy， 2 16160m ， 12 4yym， 12 4y y 7分 直线OP的方程为 1 11 4y yxx xy ，同理：直线OQ的方程为 2 4 yx y ， 令1x 得： 1 4 (1,)A y ， 2 4 (1,)B y ， 高二数学参考答案（第 7 页 共 8 页） 则 1 4 (1,)ATt y ， 2 4 (1,)BTt y ， 则由0AT BT 可得： 2 12 16 (1)0t y y ， 9分 因为 12 4y y ，所以 2 (1)40t ，解得3t 或1t ， 11分 所以以AB为直径的圆经过定点( 1,0)和(3,0) 12分 22 【解答】解法一： （1）依题意， f x的定义域为0,， 1分 ( )ln1fxax ， 2分 当 1 0 e x 时，ln10 x ；当 1 e x时，ln10 x 3分 当0a时，若 1 0 e x ，则 0fx；若 1 e x，则 0fx 所以( )f x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增 4分 当0a时，若 1 0 e x ，则 0fx；若 1 e x，则 0fx 所以( )f x在 1 0, e 上单调递增，在 1 , e 上单调递减 5分 综上，当0a时，( )f x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增； 当0a时，( )f x在 1 0, e 上单调递增，在 1 , e 上单调递减 6分 （2）由（1）知，当1a 时，( )lnf xxx ，在 1 0, e 上单调递增，在 1 , e 上单 调递减， 所以 max 1111 ( )( )ln eeee f xf ， 7分 故当0 x时， 1 ln e xx 8分 又当0 x时， 10 1 1 ee e x ， 9分 所以当0 x时， 1 1 eln e x xx ，故 1 eln0 x xx ， 11分 高二数学参考答案（第 8 页 共 8 页） 所以 1 1ln 0 ex x x 12分 解法二： （1）同解法一 6分 （2）令 1 eln x g xxx ，则 1 eln1 x gxx ， 7分 令 1 eln1 x h xx ，则 h x为增函数，且 2 1 1 1 1 ee 2 11 e210,e1 10 ee hh ， 所以 h x有唯一的零点 0 x， 0 2 1 1 , ee x ，