河北保定高三数学摸底考试试卷理

河北省保定市2019届高三10月摸底考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题可以先对集合中的的取值范围以及集合中的取值范围进行求解，再取其并集得出结果。【详解】故选D。【点睛】本题考查的是函数的定义域以及集合的并集，函数的定义域由构成函数的基本函数的性质决定。2.若 ，则（ ）A. 2 B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】本题可以先将(a-2i)i=b+i化简，然后利用复数的性质求出b、a的值，最后求出ab的值。【详解】因为a-2ii=b+i，所以ai-2i2=b+i，2+ai=b+i，所以b=2，a=1，ab=12，故选B。【点睛】本题考查的是复数的计算，如果有两个虚数相等的话，则他们的实部与虚部都相等。3.已知p:aa2，则p是q的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】本题可以先计算出q的取值范围，然后通过比较p与q的取值范围之间的关系，得出结果。【详解】q:aa2，a2-a0，aa-10，0a1，因为a0a1与aa0没有关系，所以p是q的既不充分也不必要条件，故选D。【点睛】在判断充要条件的时候，可以分别求出对应的元素的集合，再比较集合之间的关系，然后通过集合之间的关系来确定充要条件。4.已知等比数列an中，有a3a11=4a7，数列bn是等差数列，且b7=a7，则b5+b9=（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 15【答案】C【解析】【分析】本题可以先通过等比中项求出a7的值，再通过b7=a7求出b7的值，最后通过等差中项得出b5+b9的值。【详解】因为数列an是等比数列，所以a3a11=a72=4a7，a7=4，因为数列bn是等差数列，且b7=a7，所以b7=a7=4，b5+b9=2b7=8，故选C。【点睛】本题考查的等差中项与等比中项，等差中项：bn+bm=2bm+n2；等比中项：anam=am+n22。5.若命题“x0R，x02+mx0+2m30,x0”；函数y=sin(12x+4)在闭区间2,2上是增函数；函数y=x2+4x2+3的最小值为2；已知函数f(x)=x1+|x|，则k(1,+)，使得g(x)=f(x)kx在R上有三个零点.其中正确的个数是（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】【分析】本题中的需要注意-sin(12x+4)为增函数即sin(12x+4)为减函数；中需要考虑的是x2+3的取值范围；中在将函数转化为分段函数计算出零点的时候一定要注意零点的是否在对应的取值范围内。【详解】正确；错误：函数y=-sin(12x+4)，其增区间为2+2k12x+432+2kkZ，化简得2+4kx52+4kkZ，故错误；错误：函数y=x2+4x2+3=x2+3+1x2+3=x2+3+1x2+3，因为x2+33，所以函数y433，故错误；错误：gx=fx-kx=x1+x-kx，当x0时，gx=x1+x-kx=x-kx-kx21+x=x1-k-kx1+x=0，x=0或1-kk, 因为k(1,+)，所以1-kk0，x=0，当x0，x不存在，综上所述k(1,+)时g(x)只有一个零点，故错误，综上所述：故选C。【点睛】本题主要考查了命题的否定以及函数的性质，在计算函数类题目的时候，我们一定要对基本函数的定义域、奇偶性、单调性等基本性质有着足够的了解，并且在实际应用的时候，一定要考虑到实际情况。12.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4米，沿AC折叠使B到B位置，AB交DC于P，研究发现，当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ABCD的面积为（ ）A. 322 B. 23 C. 2(21) D. 2【答案】C【解析】【分析】本题可以先通过设AB、DP分别为x、y，再通过题目所给信息以及AD2+DP2=PA2得出x、y之间的关系，然后通过ADP的面积列出算式，当其最大时求出AB的值，最后得出结果。【详解】设AB为x，DP为y，因为四边形ABCD是周长为4的长方形，AB为x所以AD为2-x，DC为x，因为DP为y，所以PC为x-y，由题意可知，PC=PA，所以有AD2+DP2=PA2，即2-x2+y2=x-y2，化简得y=2-2x，所以SADP=122-x2-2x，化简得SADP=3-2x+2，所以当x=2时ADP面积最大，此时SABCD=22-2=22-1，故选C。【点睛】本题在计算过程中，首先要对图像以及题目所给的条件有着一个充足的了解，再通过各边之间的关系列出算式求出所需要的值。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若点(3,27)在函数y=ax的图像上，则loga81=_【答案】4【解析】【分析】本题可先将点(3,27)带入y=ax中求得的值，再求出loga81的值。【详解】因为点(3,27)在函数y=ax上，所以有27=a3，a=3，所以loga81=log381=4。【点睛】本题主要考察的是对数以及指数的运算，对对数以及指数的相关运算要有着足够的了解。14.设a=1.10.1，b=ln2，c=log1333，则a,b,c的大小关系是_【答案】cba【解析】【分析】本题可以先计算出的值，再将b与12、1比较大小，然后将与1比较大小，最后得出三者之间的大小关系。【详解】c=log1333=log131312=12；b=ln2，lne12ln2lne，12b1，所以，综上所述，cb0,0,xR)在一个周期内的部分对应值如下表：x24042f(x)20202（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=12f(x)2sinx的最大值及其对应的x的值.【答案】（1）f(x)=2cos2x； （2）x=2k6或x=2k+76,kZ.【解析】【分析】（1）首先，可以通过f(x)的最大值和最小值得出A的值，再通过两个f(x)的最小值所对应的x的值得出周期，从而计算出的值，最后再通过将点0，2带入计算得出的值；（2）可通过f(x)解析式得出g(x)解析式，再将其利用三角恒等变换进行化简，【详解】（1）由表格可知，A=2，f(x)的周期T=2-(-2)=，所以=2=2. 又由2sin20+=2，所以=2.所以f(x)=2sin(2x+2)=2cos2x. （2）g(x)=12f(x)-2sinx=cos2x-2sinx=1-2sin2x-2sinx =-2(sinx+12)2+32. 由sinx-1,1，所以当sinx=-12时，g(x)有最大值32；因为sinx=-12 所以x=2k-6或x=2k+76 。【点睛】本题考查的是对三角函数的解析式的理解以及最值，A可以通过三角函数最值来得出，可通过三角函数周期得出，则可以通过带入点坐标得出，并且在求最值的时候，一定要注意不要忘了三角函数是周期函数，一个最值对应了无数个x。18.已知公比为q的等比数列an，满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2,a4的等差中项.（1）求q；（2）若bn=anlog2an，求数列bn的前n项和Sn .【答案】（1）q=1； （2）Sn=(n1)2n+1+2.【解析】【分析】（1）可通过2a1+a3=3a2计算出q=2或q=1，再通过a3+2是a2、a4的等差中项计算出q1，最后得出结果；（2）可先通过an解析式得出bn解析式，然后写出Sn与2Sn的解析式，最后通过错位相减法得出结果。【详解】（1）设等比数列an的公比为q，依题意，有2a1+a3=3a2,a2+a4=2(a3+2).即a1(2+q2)=3a1q,a1(q+q3)=2a1q2+4.，由得 q2-3q+2=0，解得q=2或q=1，代入知q=1不适合，故舍去；（2）当q=2时，代入得a1=2，所以，an=22n-1=2n，bn=anlog2an=2nlog22n=n2n，所以Sn=2+222+323+n2n，所以2Sn=22+223+324+(n-1)2n+n2n+1，两式相减得：-Sn=2+22+2n-n2n+1， 所以Sn=(n-1)2n+1+2。【点睛】错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。19.在ABC中，设a,b,c分别是内角A,B,C的对边，若sin2Ccos2Bsin2A=sinAsinBcos2B.（1）求C；（2）若D为AB中点，c=43，CD=3，求ABC的面积S.【答案】（1）C=1200； （2）332.【解析】【分析】（1）首先可以通过二倍角公式对其进行化简，再通过解三角形的正弦公式化简得-a2+c2=ab+b2，最后与解三角形的余弦公式进行联立得出结果；（2）可通过余弦定理以及CA+CB=2CD=6计算出ab的值，再通过S=12absinC计算出面积。【详解】（1）由题意得-sin2A+sin2C=sinAsinB+sin2B由正弦定理得-a2+c2=ab+b2 即a2+b2-c2=-ab，由余弦定理得cosC=-12 所以C=1200 ；（2）由题意c2=a2+b2-2abcosC=48，CA+CB=2CD=6， 即a2+2abcosC+b2=36所以4abcosC=-12，故ab=6所以S=12absinC=332。【点睛】本题主要考查解三角形，需要对题目所给条件和解三角形的正弦、余弦、面积公式进行综合运用。20.已知函数f(x)=bx2+(a2)xalnx的一个极值点为x=1.（1）求b的值；（2）若f(x)在区间(1,e)上存在最小值，求的取值范围.【答案】（1）b=1； （2）-2ea2 .【解析】【分析】（1）可先对函数f(x)进行求导，再代入f(1)=0，进而计算出b的值；（2）首先可以对函数f(x)进行求导，再通过解f(x)=0得出x的值，然后对-a21、1-a20)因为x=1函数f(x)的一个极值点，所以f(1)=2b-2=0.所以b=1.（2）函数f(x)=x2+(a-2)x-alnx的定义域是0，+. f(x)=2x+(a-2)-ax=2x2+(a-2)x-ax(x0)令f(x)=0，即f(x)=(x-1)(2x+a)x=0，x=-a2或1. 当-a21，即a-2时，f(x)在1，e上单调递增，没有最小值当1-a2e，即-2ea-2时，f(x)在1，e上存在最小值f(-a2)； 当-a2e，即a-2e时，f(x)在1，e上单调递减，没有最小值,所以-2ea1,nN*）(bn+1-bn)= (bn-bn-1) q=1与q1矛盾，所以当d0且q1时，P1，P2，P3，Pn，不共线.【点睛】本题考查共线向量，考查辩证思想以及类比推理，如果有许多个点想要在一条直线上的话则必须要每两点的所形成的向量都共线。22.已知函数f(x)=aln(1+x)bln(1x)+ab，在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.（1）求f(x)的解析式；（2）求证：当x(1,0)时，f(x)x+x33；（3）设实数k使得f(x)k(x+x33)对x(1,0)恒成立，求k的最大值.【答案】（1）fx=ln(1+x)ln(1x).； （2）见解析； （3）2 .【解析】【分析】（1）本题可以先对函数f(x)求导，再通过f0=2以及f0=0计算出a、b的值，得出函数解析式；（2）可以将f(x)2的情况分别进行讨论从而得出结果。【详解】（1）fx=aln(1+x)-bln(1-x)+a-b 所以fx=a1+x+b1-x,由 k=f0, 得a+b=2,由 f0=0, 得a-b=0, 解得a=b=1.所以fx=ln(1+x)-ln(1-x). （2）原命题 x-1,0,fx-x+x330， 函数Fx在x-1,0上单调递增。FxF0=0，因此x-1,0，fxx+x33；（3）ln1+x1-