福建达标校高二数学暑期集训营三十九理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(39) 第四部分 【检测能力】 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (39) 一、填空题： 1已知i是虚数单位，则 2 1 i i . 2空间两点(1,2, 1)A，(4,3,1)B之间的距离是 3用反证法证明命题“如果 ab，那么 3 a 3 b”时，假设的内容应为_ 4已知，由此可猜想 2015 i_. 5在 46 )1 ()1 (yx的展开式中，记 nmy x项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0)f(2，1) f(0，3) = . 6已知矩阵 A 1 = 1 2 0 1 ，B 1 = 1 0 1 1 ，则 (AB) 1 = . 7随机变量的概率分布列为() 1 c Pk k （k0，1，2，3） ，则(2)P 8设 f(n)1 1111 23431n (nN *)，则 f(k1)f(k)_. 9已知复数( ,),|2|3, y zxyi x yRz x 则的最大值为_. 10已知棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E 是A1B1的中点，则直线AE 与平面 ABC1D1所成角的正弦值为 11任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为_ （请用数字作 答！ ） 12设O是坐标原点，AB 是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M 是弦 AB 的中点， OMAB kk ，分别表示直线 AB,OM 的斜率。在圆 222 ryx中， 1-. OMABk k，在椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 中，类比上述结论可得 . 13在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果女 生甲不能排在第一个, 且2位男生不能连着出场，那么出场顺序的排法种数为 . （请用数字作答！ ） 14若 且 ，则实数 m 的值是_ 二、解答题： 15已知z是复数，若iz2为实数（i为虚数单位） ，且4z为纯虚数 （1）求复数z； （2）若复数2miz 在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围 ii 1 1 2 iii 3 1 4 iii 5 929 0129 (2)(1)(1)(1)xmaa xa xa x 229 028139 ()()3aaaaaa 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(39) 第四部分 【检测能力】 【2】 16二阶矩阵 M 对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点（1，1） 与（0，2） （）求矩阵 M； （）设直线l在变换 M 作用下得到了直线 m：2xy=4，求l的方程 17.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，已知1CACB， 1 2AA ， o 90BCA 请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题： （1）求异面直线 1 BA与 1 CB夹角的余弦值； （2）求二面角 1 BABC平面角的余弦值 18已知 2 11 1,3 nnn aanaa . （1）求 2345 ,a a a a的值； （2）判断 n a与2n的关系，并用数学归纳法证明。 19. 某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核 中只有合格和优秀两个等级若考核为合格，授予 10 分降分资格；考核为优秀， 授 予 20 分降分资格假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 2 3 、 2 3 、 1 2 ，他们考核 所得的等级相互独立 (1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率； (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量，求随机变量的分 布列 20. 在 20122212122 (1)n rrnnnn nnnnnn xxDD xD xD xDxD x 的展开式中，把 0122n nnnn DDDD， ， ， ，叫做三项式系数 （1）当 n=2 时，写出三项式系数 01234 22222 DDDD D， ， ， ，的值； （2）类比二项式系数性质 1 1 CCC mmm nnn (1,)mn mN nN ，给出一个关于三项 式系数 1 1(1 21,) m n DmnmN nN 的相似性质，并予以证明； （3）求 0011223320142014 2014201420142014201420142014201420142014 CCCCCDDDDD的值 （第 17 题图） A B C A1 B1 C1 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(39) 第四部分 【检测能力】 【3】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (39) 参 考 答 案 1 1 i 2 14 3 3 a 3 b或 3 a 3 b 4i 5 84 6 3 2 1 1 7 25 4 8 111 . 323334kkk 9 3 10 11 241 2401 12 2 2 a b kk OMAB 13 60 14 -3 或 1 15已知z是复数，若iz2为实数（i为虚数单位） ，且4z为纯虚数 （1）求复数z； （2）若复数2miz 在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围 解： （1）设,zxyi x yR 1 分 由2ziiyx)2( 为实数，得02y，即2y 3 分 由4zyix)4(为纯虚数，得4x 5 分 iz24 6 分 （2）immmmiz)2(8)124()( 22 ， 8 分 根据条件，可知 , 0)2(8 , 0412 2 m mm 12 分 解得22m， 实数m的取值范围是2,2 14 分 16二阶矩阵 M 对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点（1，1）与 （0，2） （）求矩阵 M； （）设直线l在变换 M 作用下得到了直线 m：2xy=4，求l的方程 解： （）设 b d a c ，则有 b d a c 1 1 = 1 1 ， b d a c 2 1 = 0 2 ， 所以 120, , 122 abab cdcd 且 ， 4 分 5 10 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(39) 第四部分 【检测能力】 【4】 解得 1 2 3 4 a b c d 所以 M= 12 34 6 分 （）因为 122 3434 xxxy yyxy 且 m：2 4xy ， 10 分 所以 2（x+2y）（3x+4y）=4，即 x+4 =0，这就是直线 l 的方程 14 分 17.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，已知1CACB， 1 2AA ， o 90BCA 请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题： （1）求异面直线 1 BA与 1 CB夹角的余弦值； （2）求二面角 1 BABC平面角的余弦值 17如图，以 1 ,CA CB CC为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz 则(1,0,0)A，(0,1,0)B， 1(1,0,2) A， 1(0,1,2) B，所以 1 (0,1,2)CB ，( 1,1,0)AB ， 1 ( 1,1,2)AB ， 1 (1, 1,2)BA （1）因为 11 11 11 330 cos, 1065 CBBA CB BA CB BA ， 所以异面直线 1 BA与 1 CB夹角的余弦值为 30 10 7 分 （2）设平面 1 CAB的法向量为( , , )x y zm， 则 1 1 0, 0, AB CB m m 即 20, 20, xyz yz 取平面 1 CAB的一个法向量为(0,2, 1)m； 设平面 1 BAB的法向量为( , , )r s tn，则 1 0, 0, AB AB n n 即 20, 0, rst rs 取平面 1 BAB的一个法向量为(1,1,0)n； 则 210 cos, 552 m n m n m n ， （第 17 题图） A B C A1 B1 C1 （第 17 题图） A B C A1 B1 C1 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(39) 第四部分 【检测能力】 【5】 所以二面角 1 BABC平面角的余弦值为 10 5 15 分 18已知 2 11 1,3 nnn aanaa . （1）求 234 ,a a a的值； （2）判断 n a与2n的关系，并用数学归纳法证明。 解： （1） 2 9 3 17a ， 3 49 14 136a , 4 a 1189 3 分 （2）2 n an n=1 时，3=1+2 成立 5 分 假设 * ()nk kN时，2 k ak 6 分 1nk时， 2 1 1() 1 kkkkk aakaa ak 20 k ak 2 k ak ()2(2) kk a akk 10 分 1 () 12(2) 1 (1)2112 kkk aa akk kkk 1nk 时结论成立。 14 分 综上：由知：2 n an 15 分 19.某四星级高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中 只有合格和优秀两个等级若考核为合格，授予 10 分降分资格；考核为优秀， 授予 20 分降分资格假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 2 3 、 2 3 、 1 2 ，他们考核所得的等 级相互独立 (1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率； (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量，求随机变量的分布 列 【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件 A， “乙考核为优秀”为事件 B， “丙考核为优秀” 为事件 C， “甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. 则事件 A、B、C 是相互独立事件，事件A BC与事件 E 是对立事件，于是 P(E)1P(A BC)1(1 2 3 )(1 2 3 )(1 1 2 ) 17 18 . 6 分 (2)的所有可能取值为 30,40,50,60. 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(39) 第四部分 【检测能力】 【6】 P(30)P(A BC)(1 2 3 )(1 2 3 )(1 1 2 ) 1 18 ， P(40)P(ABC)P(ABC)P(A BC) 5 18 ， P(50)P(ABC)P(ABC)P(ABC) 8 18 ， P(60)P(ABC) 4 18 . 14 分 所以的分布列为 16 分 30 40 50 60 P 1 18 5 18 8 18 4 18 20. 在 20122212122 (1)n rrnnnn nnnnnn xxDD xD xD xDxD x 的展开式中，把 0122n nnnn DDDD， ， ， ，叫做三项式系数 （1）当 n=2 时，写出三项式系数 01234 22222 DDDD D， ， ， ，的值； （2）类比二项式系数性质 1 1 CCC mmm nnn (1,)mn mN nN ，给出一个关于三项 式系数 1 1(1 21,) m n DmnmN nN 的相似性质，并予以证明； （3）求 0011223320142014 2014201420142014201420142014201420142014 CCCCCDDDDD的值 解： （1）因为 22 (1)xx1232 234 xxxx， 所以12321 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 DDDDD，. 3 分 （2） 类比二项式系数性质 1 1 CCC mmm nnn (1,)mn mN nN， 三项式系数有如下性 质： 111 1 ,(121). mmmm nnnn DDDDmn 6 分 因为 2122 (1)(1) (1) nn xxxxxx ， 所以 2120122212122 (1)(1) () nrrnnnn nnnnnn xxxxDD xD xD xDxD x . 上式左边 1m x 的系数为 1 1 m n D , 而上式右边 1m x 的系数为 11mmm nnn DDD , 由 2122 (1)(1) (1) nn xxxxxx 为恒等式,得 111 1 ,(121). mmmm nnnn DDDDmn 10 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(39) 第四部分 【检测能力】 【7】 （3） 220142014 (1)(1)xxx 01224027402740284028 201420142014201420142014 02014120132201232011201420132014 2014201420142014201420142014 () (CCCC( 1) CC), rr rrr DDxDxDxDxDx xxxxxxC 其中 x 2014系数为 0011223