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近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分,共25分)1、在整数加群(Z,)中,下列那个是单位元( )。A 0 B 1 C 1 D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是( )。A G只包含一个元g,乘法是ggg。G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是( )。A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是( )。A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性5、下列哪个不是的共轭类 ( )。A (1)B (123),(132),(23)C (123),(132)D (12),(13),(23)二、计算题(每题10分,共30分)1.求S(12),(13)在三次对称群的正规化子和中心化子。2.设G1,1,i,i,关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。3.设R是由一切形如(x,y是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。 三、证明题(每小题15分,共45分)1、设R是由一切形如(x,y是有理数)方阵作成的环,证明是其零因子。2、设Z是整数集,规定abab3。证明:Z对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。3、证明由整数集Z和普通加法构成的(Z,)是无限阶循环群。近世代数模拟试题答案一、 单项选择题(每题5分,共25分)1 A 2 D3 C4 D5 B二、计算题(每题10分,共30分)1 解:正规化子N(S)(1),(23)。(6分)中心化子C(S)(1)。(4分)2 解:群G中的单位元是1。(2分)1的阶是1,1的阶是2,i和i的阶是4。(42分) 3 解:设其右零因子为。(2分)所以0。(3分)因为x任意,所以ab0。(3分)因此右零因子为。(2分)三、证明题(每小题15分共45分)1证明:设其右零因子为。(2分)所以0。(5分)因为x,y任意,所以ab0。(8分)同理设其右零因子为。(10分)所以0。(12分)因为x,y任意,所以ab0。(14分)因此零因子为。(15分)2 明:首先该代数运算封闭。(3分)其次我们有:(ab)c(ab3)c(ab3)c3a(bc3)3)a(bc),结合律成立。(6分) 令e3,验证aeae3a,有单位元。(7分)对任意元素a,6a是其逆元,因为a(6a)3。(8分)因此,Z对该运算作成一个群。显然,单位元是e3。(10分)3证明:首先证明(Z,)是群,+满足结合律,对任意的,0是运算+的单位元又由于: 所以 从而(Z,)为群。(2分)由于满足交换律,所以(Z,)是交换群。(4分)(Z,)的单位元为0,对于1,由于 1+(-1)=0,所以,。(5分)
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