福建达标校高二数学暑期集训营十六理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (16) 一、选择题：一、选择题：( (本大题共有本大题共有 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的).). 1复数复数 i i z 1 （i是虚数单位）在复平面内对应的点在（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 2 2已知命题已知命题p：Rx，012 2 x，则，则p是（是（ ） A.012 2 xRx， B.012 2 xRx， C.012 2 xRx， D.012 2 xRx， 3.3.圆圆02: 22 xyxC的圆心到双曲线的圆心到双曲线的渐近线的距离是（的渐近线的距离是（ ） A.A. B C D 4如右图所示，程序框图输出的结果为（如右图所示，程序框图输出的结果为（ ） A15 B16 C 136 D 153 5二项式二项式 6 3 () 6 ax+的展开式的第二项的系数为的展开式的第二项的系数为3，则，则 2 2 a x dx 的值为（的值为（ ） A3 B 7 3 C3或或 7 3 D3或或 3 10 6从从6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1中任取中任取2个不同的数，事件个不同的数，事件A“取到的取到的2个数之和为偶数个数之和为偶数”，事件，事件B“取取 到的到的2个数均为偶数个数均为偶数”，则，则)(ABP( )( ) A 8 1 B. 4 1 C. 5 2 D. 2 1 2 2 1 3 y x 3 2 1 2 13 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【2】 7为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得名学生参加环保知识测试，得 分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 e m，众数为，众数为 o m，平均值为，平均值为x，则，则 （ ） A eo mmx B eo mmx C eo mmx D oe mmx 8学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题科的专题 讲讲 座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安 排方法排方法 共有（共有（ ） A 36种种 B 30种种 C 24种种 D 6 种种 9若函数若函数( )f x的导函数的导函数 2 ( )43fxxx，则使得函数，则使得函数(1)f x单调递减的一个充分不单调递减的一个充分不 必要条件是必要条件是x( ) A0,1 B3,5 C2,3 D2,4 10已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 （ ） A 23 3 B 23 6 C 11 3 D 10 3 11已知已知P是双曲线是双曲线)0( 1 4 2 22 b b yx 上一点，上一点， 1 F、 2 F是左右焦点，是左右焦点， 21F PF的三边长的三边长 成等差数列，且成等差数列，且120 21PF F，则双曲线的离心率等于（，则双曲线的离心率等于（ ） A. 7 53 B. 2 53 C. 7 2 D. 2 7 12定义在定义在) 2 0( ，上的函数上的函数)( )(xfxf，是它的导函数，且恒有是它的导函数，且恒有xxfxftan)( )(成成 立，则（立，则（ ） 1 1 2 2 2 2 2 正视侧视 俯视 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【3】 A.) 3 (2) 4 (3 ff B. 1sin) 6 (2) 1 ( ff C.) 4 () 6 (2 ff D. 3 ()2 () 43 ff 二、填空题：二、填空题：( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分).). 1313极坐标方程分别是极坐标方程分别是cos和和sin的两个圆的圆心距是的两个圆的圆心距是 141000名考生的数学成绩近似服从正态分布名考生的数学成绩近似服从正态分布(100,100)N，则成绩在，则成绩在120分以上的考生分以上的考生 人数约为人数约为 . （注：正态总体（注：正态总体 2 ( ,)N 在区间在区间(,) ，(2 ,2 ) ,(3 ,3 ) ， 内取值的概率分别为内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997） ） 15 1234 212,21 33 4,21 3 54 5 6,21 3 5 75 6 7 8, 依此依此 类推，第类推，第n个等式个等式 为为 . 16. 已知正方体已知正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为的棱长为1，点，点P是线段是线段 11C A上上 的动点，则四棱锥的动点，则四棱锥ABCDP的外接球半径的外接球半径R的取值范围的取值范围 是是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共6 6个小题个小题 共计共计7070分。分。请把解答过程写在答题纸请把解答过程写在答题纸 上上） 17 （本题（本题满分满分 1010 分）如图分）如图, , 已知已知I为锐角为锐角ABC的内心，且的内心，且60A ，点，点D为内切圆为内切圆 I与边与边AC的切点，过点的切点，过点C作直线作直线BI的垂线，垂足为的垂线，垂足为E （1）求证：）求证：IDEECI； （2）求）求 IE IC 的值的值 18(本题本题满分满分 12 分分) 已知函数已知函数nmxf)(, , 其中其中)cos3,cos(sinxxxm )sin2 ,sin(cosxxxn，其中，其中 , 0若若)(xf相邻两对称轴间的距离不小于相邻两对称轴间的距离不小于 2 (1)(1)求求的取值范围；的取值范围； (2)(2)在在ABC中，中，a、b、c分别是角分别是角A、B、C的对边，的对边，3, 3cba，当，当最大时，最大时， , 1)(Af求求ABC的面积的面积. . A B C I D E 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【4】 1 19 9 ( (本题本题满分满分 1 12 2 分分) ) 如图在四棱锥如图在四棱锥中中, ,底面底面是边长为是边长为的正方形的正方形, ,侧面侧面 底面底面, ,且且, , 设设、分别为分别为、的中点的中点. . () () 求证求证: : /平面平面; ; () () 求证求证: :平面平面平面平面; ; () () 求二面角求二面角的正切值的正切值. . 2020 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 本着健康、 低碳的生活理念， 租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每本着健康、 低碳的生活理念， 租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每 车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2 2 元（不足元（不足 1 1 小小 时的部分按时的部分按 1 1 小时计算） 。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次） ，设小时计算） 。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次） ，设 甲、乙不超过两小时还车的概率分别为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别 为为；两人租车时间都不会超过四小时。；两人租车时间都不会超过四小时。 （1 1）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求，求的分布列与数学期望的分布列与数学期望)(E 2121 （本题 （本题满分满分 1 12 2 分）分）已知一条曲线已知一条曲线C在在y轴右边轴右边, , C上每一点到点上每一点到点)0 , 1 (F的距离减去它的距离减去它 到到y轴的距离的差都是轴的距离的差都是1. . ()()求曲线求曲线C的方程的方程; ; ()()是否存在正数是否存在正数m, ,对于过点对于过点)0 ,(mM且与曲线且与曲线C有两个交点有两个交点BA,的任一直线的任一直线, ,都都 有有0FBFA. .若存在若存在, ,求出求出m的取值范围的取值范围; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . 22 （本题 （本题满分满分 12 分）分）设函数设函数 ) 1ln()( 2 xaxxf ( (I I) )若函若函 数数)(xfy 在区间在区间 ), 1 上是单上是单 调调 递增函数，求实数递增函数，求实数a的取值范围；的取值范围； ( (IIII) )若函数若函数 )(xfy 有有 两两 个个 极极 值值 点点 21,x x 且且 21 xx 求证求证: : 2ln 2 1)( 0 1 2 x xf PABCDABCDa PADABCD 2 2 PAPDAD EFPCBD EFPAD PABPDC BPD C 2 1 4 1， 4 1 2 1， F E D C B A P 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【5】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (16) 参 考 答 案 选择：选择：DDACB DDBCD DD DDACB DDBCD DD 填空：填空： 2 2(2 )! 33 1 3 . 2(1)(2).(2 ), , 2!42 n nnnn n ，23,2 三、解答题（本题共三、解答题（本题共6 6个小题个小题 共计共计7070分。分。请把解答过程写在答题纸上请把解答过程写在答题纸上） 17 （本题满分（本题满分 1010 分）分）如图如图 4，已知，已知I为锐角为锐角ABC的内心，且的内心，且60A ，点，点D为内切圆为内切圆 I与边与边AC的切点，过点的切点，过点C作直线作直线BI的垂线，垂足为的垂线，垂足为E （1）求证：）求证：IDEECI； （2）求）求 IE IC 的值的值 （）证明：（）证明：圆圆I与边与边AC相切于点相切于点D， IDAC （2 分）分） 又又 BECE， 90IDCIEC， I，E，D，C四点共圆，四点共圆， （4 分）分） IDEECI （5 分）分） （）解：（）解：I为锐角为锐角ABC的内心，的内心， 1 2 IBCABC， 1 2 ICBACB，（，（6 分）分） 在在IEC中，中， 11 22 EICIBCICBABCACB 11 ()(180) 22 ABCACBA 1 9060 2 A （8 分）分） BECE， 在在RtIEC中，中，9030ECIEIC， 1 sinsin30 2 IE ECI IC （10 A B C I D E 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【6】 18(本题满分本题满分 12 分分) 已知函数已知函数nmxf)(, , 其中其中)cos3,cos(sinxxxm )sin2 ,sin(cosxxxn，其中，其中 , 0若若)(xf相邻两对称轴间的距离不小于相邻两对称轴间的距离不小于 2 (1)(1)求求的取值范围；的取值范围； (2)(2)在在ABC中，中，a、b、c分别是角分别是角 A A、B B、C C 的对边，的对边，3, 3cba，当，当最大时，最大时， , 1)(Af求求ABC的面积的面积. . 18.18. 解：解： （1 1）xxxxnmxfsincos32sincos)( 22 ) 6 2sin(22sin32cos xxx. . 0, ,函数函数)(xf的周期的周期 2 2 T， 由题意可知， 由题意可知 22 T ， 即， 即 22 ， 解得， 解得10， 即即的取值范围是的取值范围是10|. .6 6 分分 （2 2）由（）由（1 1）可知）可知的最大值为的最大值为 1 1，( )2sin(2) 6 f xx 1 ( )1,sin(2) 62 f AA 而而 13 2 666 A ， 5 2 663 AA 8 8 分分 由余弦定理知由余弦定理知Abccbacos2 222 ， 22 3bcbc，又，又3bc. . 联立解得联立解得2bc ， 13 sin 22 ABC SbcA . . 1212 分分 1919 ( (本题满分本题满分 1212 分分) ) 如图在四棱锥如图在四棱锥中中, ,底面底面是边长为是边长为的正方形的正方形, ,侧面侧面 底面底面, ,且且, ,设设、分别为分别为、的中点的中点. . ( () ) 求证求证: : /平面平面; ; ( () ) 求证求证: :面面平面平面; ; ( () ) 求二面角求二面角的正切值的正切值. . PABCDABCDa PADABCD 2 2 PAPDADEFPCBD EFPAD PABPDC BPDC F E D C B A P 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【7】 1.1.法一法一:(:() )证明证明: :为平行四边形为平行四边形 连结连结, ,为为中点中点, , 为为中点中点在在中中/ 且且平面平面, ,平面平面 ( () )证明证明: :因为面因为面面面 平面平面面面 为正方形为正方形, , ,平面平面 所以所以平面平面 又又, ,所以所以是等腰直角三角形是等腰直角三角形, , 且且 即即 , ,且且、面面 面面 又又面面 面面面面 ( () ) 【解】【解】: :设设的中点为的中点为, ,连结连结, , , 则则由由( () )知知面面, , , ,面面, , , 是二面角是二面角的平面角的平面角 中中, , 故所求二面角的正切值为故所求二面角的正切值为 法二法二: :如图如图, ,取取的中点的中点, , 连结连结, ,. . , , . . 侧面侧面底面底面, , , , , , 而而分别为分别为的中点的中点, , , 又又是正方形是正方形, ,故故. . ABCD ACBDFFAC EPCCPAEFPA PAPADEF PAD PADEF平面/ PADABCDPADABCDAD ABCDCDADCDABCD CD PADCDPA 2 2 PAPDADPAD 2 PAD PAPD CDPDDCDPDABCD PAPDC PAPABPAB PDC PDMEMMF EMPDEF PDC EFPDPD EFMPDMF EMFBPD C Rt FEM 12 24 EFPAa 11 22 EMCDa 2 2 4 tan 1 2 2 a EF EMF EM a 2 2 ADOOPOF PAPDPOAD PADABCD PADABCDAD平面平面 POABCD平面 ,O F,AD BD/OFAB ABCDOFAD 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【8】 , , ,. . 以以为原点为原点, ,直线直线为为轴建立空间直线坐标系轴建立空间直线坐标系, , 则有则有, , , , , ,. . 为为的中点的中点, , ( () )证明证明: :易知平面易知平面的法向量为的法向量为而而, , 且且, , /平面平面 ( () )证明证明: :, , , , , ,从而从而, ,又又, , , , ,而而, , 平面平面平面平面 ( () ) 【解】【解】: :由由( () )知平面知平面的法向量为的法向量为. . 设平面设平面的法向量为的法向量为. ., , 由由可得可得, ,令令, ,则则, , 故故, , 即二面角即二面角的余弦值为的余弦值为, , 所以二面角所以二面角的正切值为的正切值为 2 2 PAPDADPAPD 2 a OPOA O,OA OF OP, ,x y z (,0,0) 2 a A(0,0) 2 a F(,0,0) 2 a D (0,0,) 2 a P(, ,0) 2 a Ba(, ,0) 2 a Ca EPC(,) 4 2 4 a a a E PAD(0,0) 2 a OF ( ,0,) 44 aa EF (0,0) ( ,0,)0 244 aaa OF EFEFPAD ( ,0,) 22 aa PA(0, ,0)CDa( ,0,) (0, ,0)0 22 aa PA CDa PACDPACDPAPDPDCDD PAPDC平面PAPAB平面 PABPDC PDC( ,0,) 22 aa PA PBD( , , )nx y z( ,0, ),(, ,0) 22 aa DPBDa a 0,0n DPn BD 00 22 00 aa xyz a xa yz 1x 1,1yz (1,1, 1)n 6 cos, 32 3 2 n PAa n PA n PA a BPDC 6 3 BPDC 2 2 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【9】 2020 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 本着健康、 低碳的生活理念， 租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每本着健康、 低碳的生活理念， 租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每 车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2 2 元（不足元（不足 1 1 小小 时的部分按时的部分按 1 1 小时计算） 。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次） ，设小时计算） 。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次） ，设 甲、乙不超过两小时还车的概率分别为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别 为为；两人租车时间都不会超过四小时。；两人租车时间都不会超过四小时。 （1 1）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （2 2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求，求的分布列与数学期望的分布列与数学期望)(E 解： （解： （1）所付费用相同即为）所付费用相同即为 0,2,4 元。设付元。设付 0 元为元为，2 2 分分 付付 2 元为元为， 付付 4 元为元为 4 4 分分 则所付费用相同的概率为则所付费用相同的概率为 6 6 分分 （2）设甲，乙两个所付的费用之和为）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为可为 0,2,4,6,8 1010 分分 分布列分布列 2 1 4 1， 4 1 2 1， 8 1 2 1 4 1 1 P 8 1 4 1 2 1 2 P 16 1 4 1 4 1 3 P 16 5 221 PPPP 1 (0) 8 1 11 15 (2) 4 42 216 1 11 11 15 (4) 4 42 42 416 1 11 13 (6) 4 42 416 1 11 (8) 4 416 P P P P P 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【10】 2121 （本题满分 （本题满分 1212 分）分）已知一条曲线已知一条曲线C在在y轴右边轴右边, , C上每一点到点上每一点到点)0 , 1 (F的距离减去它的距离减去它 到到y轴的距离的差都是轴的距离的差都是1. . ( () )求曲线求曲线C的方程的方程; ; ( () )是否存在正数是否存在正数m, ,对于过点对于过点)0 ,(mM且与曲线且与曲线C有两个交点有两个交点BA,的任一直线的任一直线, ,都都 有有0FBFA. .若存在若存在, ,求出求出m的取值范围的取值范围; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . 解解:(I):(I)设设 P P),(yx是直线是直线 C C 上任意一点上任意一点, ,那么点那么点 P(P(yx,) )满足满足: : )0( 1) 1( 22 xxyx 化简得化简得)0(4 2 xxy (II)(II)设过点设过点 M(m,0)M(m,0)0(m的直线的直线l与曲线与曲线 C C 的交点为的交点为 A(A( 11, y x),B(),B( 22, y x) ) 设设l的方程为的方程为mtyx, ,由由 x4 2 y mtyx 得得044 2 mtyy, ,0)(16 2 mt. . 于是于是 myy tyy 4 4 21 21 又又), 1(), 1( 2211 yxFByxFA 01)() 1)(1(0 2121212121 yyxxxxyyxxFBFA 又又 4 2 y x , ,于是不等式等价于于是不等式等价于 4 2 1 y 01) 44 ( 4 2 2 2 1 21 2 2 yy yy y 012)( 4 1 16 )( 21 2 2121 2 21 yyyyyy yy 0 2468 P 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 55917 84822 E 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【11】 由式由式, ,不等式等价于不等式等价于 22 416tmm 对任意实数对任意实数 t,t, 2 4t的最小值为的最小值为 0,0,所以不等式对于一切所以不等式对于一切 t t 成立等价于成立等价于 016 2 mm, ,即即223223m 由此可知由此可知,存在正数存在正数 m,对于过点对于过点 M(m,0)且与曲线且与曲线 C 有有 A,B 两个交点的任一直线两个交点的任一直线,都有都有 0FBFA,且且 m 的取值范围是的取值范围是)223 ,223( 22 （本题满分 （本题满分 12 分）分）设函数设函数 ) 1ln()( 2 xaxxf ( (I I) )若函若函 数数)(xfy 在区间在区间 ), 1 上是单上是单 调调 递增函数，求实数递增函数，求实数a的取值范围；的取值范围； (II)(II)若函数若函数)(xfy 有有 两两 个个 极极 值值 点点 21,x x且且 21 xx 求证求证: : 2ln 2 1)( 0 1 2 x xf 解： （解： （）在区间在区间上恒成立，上恒成立， 即即区间区间上恒成立，上恒成立， 1 1 分分 . .3 3 分分 经检验，经检验， 当当 a- 4 时，时， ，时，时， ， 所以满足题意的所以满足题意的 a 的取值范围为的取值范围为.4 分分 （）函数的定义域（）函数的定义域，依题意方程，依题意方程 在区间在区间有两个不等的实根，记有两个不等的实根，记，则有，则有， 得得. .6 分分 ， 0 1 22 )( 2 / x axx xf), 1 xxa22 2 ), 1 4a 1 ) 1)(2(2 1 422 )( 2 / x xx x xx xf), 1 x 0)( / xf 4,) ), 1(0 1 22 )( 2 / x axx xf022 2 axx ), 1(axxxg22)( 2 1 2 1 0) 1( 0 g 2 1 0 a , 1 21 xx022 2 2 2 axx 2 21 2 1 2 a x 0 2 1 2 x 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(16) 第二部分 【演练探究】 【12】 ，令，令 8 分分 ， , 因为因为，存在，存在，使得，使得， - - 0 + ， 所以函数， 所以函数在在为减函数