辽宁辽阳集美学校高二数学上学期期中PDF

1 2018-2019 学年高学年高二上二上学期学期期中考试数学试卷期中考试数学试卷 考试范围考试范围:数列数列、不等式、不等式、命题、命题、圆锥曲线、圆锥曲线 时间：时间：120 分钟分钟 满分满分 150 分分 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共卷（非选择题）两部分共 4 页页 第第卷（共卷（共 60 分）分） 一、选择题一、选择题:本题共本题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1双曲线双曲线 2 2 1 3 = x y的焦点坐标是的焦点坐标是 A(2，0)，(2，0) B(2，0)，(2，0) C(0，2)，(0，2) D(0，2)，(0，2) 2. 命题命题“所有能被所有能被 2 整除的数都是偶数整除的数都是偶数”的的否定否定 是是（ ） A所有不能被所有不能被 2 整除的数都是偶数整除的数都是偶数 B所有能被所有能被 2 整除的数都不是偶数整除的数都不是偶数 C存在一个不能被存在一个不能被 2 整除的数是偶数整除的数是偶数 D存在一个能被存在一个能被 2 整除的数不是偶数整除的数不是偶数 3. 设设xR，则则“ 11 | 22 x”是是“ 3 1x ”的的 A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 4 . 若若4x ，则函数，则函数 1 4 yx x = + 有（有（ ） A. 最大值最大值6 B. 最小值最小值 6 C. 最大值最大值2 D. 最小值最小值2 5. 若双曲线若双曲线 22 22 1 xy ab =的离心率为的离心率为3，则其渐近线的斜率为，则其渐近线的斜率为（ ） A2 B. 1 2 C. 2 D. 2 2 6. 在等比数列在等比数列 n a中，若中，若 48 ,a a是方程是方程 2 320 xx+=的两根，则的两根，则 6 a的值是（的值是（ ） A.2 B.2 C. 2 D. 2 7若命题若命题p的否命题为的否命题为q，命题，命题q的逆命题为的逆命题为r，则，则r是是p的逆命题的（的逆命题的（ ） A原命题原命题 B逆命题逆命题 C否命题否命题 D逆否命题逆否命题 8若关于若关于 x 的不等式的不等式 2 20 xax+在区间在区间1,5上有解，则实数上有解，则实数 a 的取值范围为的取值范围为（ ） A. 23 (,) 5 + B. 23 (,1 5 C. (1,)+ D. (,1) 2 9. “1”是数列是数列“为递增数列为递增数列”的的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 10. 已知已知2 yx xy xa + ，且，且2zxy=+的最大值是最小值的的最大值是最小值的 3 倍，则倍，则a的值是（的值是（ ） A 2 3 B 1 3 C 1 4 D 1 5 11. 设集合设集合( , )|1,4,2Ax yxyaxyxay=+,则则 A对任意实数对任意实数 a，(2,1)A B对任意实数对任意实数 a， （， （2，1）A C当且仅当当且仅当 ab0)的左焦点为的左焦点为 F，上顶点为上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为已知椭圆的离心率为 5 3 ，点点 A 的坐标为的坐标为( ,0)b，且且6 2FBAB=. （I）求椭圆的方程；）求椭圆的方程； （II）设直线）设直线 l：(0)ykx k=与椭圆在第一象限的交点为与椭圆在第一象限的交点为 P，且且 l 与直线与直线 AB 交于点交于点 Q. 若若 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ =(O 为原点为原点) ，求求 k 的值的值. 22 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 函数函数 2 ( )(3)1f xmxmx=+的图象与的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧轴的交点至少有一个在原点的右侧 （I）求求 m 的取值范围；的取值范围； （II）对于（对于（1）中的）中的 m，设，设2tm=，不等式，不等式 311 ( 1) 2 t kttt tt + 恒成恒成 立，求立，求 k 的取值范围（的取值范围（ x表示不超过表示不超过x的最大整数） 的最大整数） 5 参考答案参考答案 一选择题 BDAAC CCAAB DD 12.答案：答案：D 解析：设椭圆方程为 22 1122 11 1(0) xy ab ab +=+=,双曲线的方程为 22 2222 22 1(0,0) xy ab ab =,半焦距为 c, 则 121 121 122 2 2 PFPFa aaPF PFPFa +=+= +=+= = ； 1 12 12 11PFaa eecc + + +=+=； 在 12 PF F中，由正选定理得 11 21 21 21 2sin24 34 3 sin sin333 sin 3 2 PFPFPF Fc PF F PF Fc = 二填空题 13. 63 n an= 14. 2 15. 1 4 16. 27 三三解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题小题,满分满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤骤.） 三三解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题小题,满分满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤算步骤.） 17 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 已知集合已知集合|(1)(2)0Axaxax=+， 集合， 集合| 24 .Bxx= 若若xB是是xA的的 充分不必要条件，求实数充分不必要条件，求实数a的取值范围的取值范围. . 解：（1）0a 时， 2 1 ,A a a = ， 若xB是xA的充分不必要条件， 所以 21 2,4 aa ， 1 0 4 a，检验 1 4 a =符合题意；3 分 （2）0a =时，AR=，符合题意；6 分 （ 3 ）0a时 ， 12 ,A aa =， 若xB是xA的 充 分 不 必 要 条 件 ， 所 以 6 12 2,4 aa ， 1 0 2 a，检验 1 2 a = 不符合题意. 9 分 综上 1 1 (, 2 4 a .10 分 18 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知数列 n a的前n项和是 n S，且() * 33N nn San+=. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设() 41 log1 nn bS + =， 1 22 31 111 n nn T bbb bb b + =+，求 n T. 18解： （1）由题意33 nn Sa+=，() 11 332 nn San +=， 1 30 nnn aaa +=， 即() 1 1 2 4 nn aan =，又 1 3 4 a =， 数列 n a是以 3 4 为首项， 1 4 为公比的等比数列， 1 3 13 4 44 n n n a = （2） 1 1 4 n n S = ， 1 1 1 1 4 n n S + + = ，()1 n bn= +， ()() 1 1111 1212 nn b bnnnn + = + ， 1111 2334 n T =+ () 11 1222 n nnn += + . 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 设抛物线的焦点为， 过且斜率为的直线 与交于， 两点， （1）求 的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程 （1）由题意得，l 的方程为 设， 2 4Cyx=： FF (0)k k lC AB |8AB = l AB C (1,0)F(1)(0)yk xk= 1221 ( ,), (,)AyxyxB 7 由得 ，故 所以 由题设知，解得（舍去） ， 因此 l 的方程为 （2） 由 （1） 得 AB 的中点坐标为， 所以 AB 的垂直平分线方程为， 即 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或 20 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 设 n a是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为() n S n N， n b是等差数列. 已知 1 1a =， 32 2aa=+， 435 abb=+， 546 2abb=+. （I）求 n a和 n b的通项公式； （II）设数列 n S的前 n 项和为() n T n N， （i）求 n T； （ii）证明 2 2 1 ()2 2() (1)(2)2 n n kkk k Tbb n kkn + + = + = + N. （I）解：设等比数列 n a的公比为 q.由 132 1,2,aaa=+可得 2 20qq=. 因为0q ，可得2q =，故 1 2n n a =. 2 (1), 4 yk x yx = = 2222 (24)0k xkxk+= 2 16160k =+ 12 2 2 24 k x k x + += 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x + =+=+= 2 2 44 8 k k + =1k = 1k = 1yx= (3,2)2(3)yx= 5yx= + 00 (,)xy 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x = + + +=+ 0 0 3, 2 x y = = 0 0 11, 6. x y = = 22 (3)(2)16xy+= 22 (11)(6)144xy+= 8 设等差数列 n b的公差为 d，由 435 abb=+，可得 1 34.bd+=由 546 2abb=+， 可得 1 31316,bd+= 从而 1 1,1,bd= 故. n bn= 所以，数列 n a的通项公式为 1 2n n a =，数列 n b的通项公式为. n bn= （II） （i）解：由（I） ，有 1 2 21 1 2 n n n S = ，故 1 11 2 (1 2 ) (21)222 12 n nn kkn n kk Tnnn + = = . （ii）证明：因为 1121 2 ()(222)222 (1)(2)(1)(2)(1)(2)21 kkkk kk+k T +bbkkkk kkkkkkkk + + = + ， 所以， 3243212 2 1 ()2222222 ()()()2 (1)(2)3243212 nnn n kkk k Tbb kknnn + + = + =+= + . 21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 设椭圆 22 22 1 xx ab +=(ab0)的左焦点为 F， 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 5 3 ， 点 A 的坐标为( ,0)b，且6 2FBAB=. （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l：(0)ykx k=与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ =(O 为原点) ，求 k 的值. （）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知有 2 2 5 9 c a =，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知 可得，FB a= ，2ABb=，由6 2FBAB=，可得 ab=6，从而 a=3，b=2 所以，椭圆的方程为 22 1 94 xy += （）解：设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）由已知有 y1y20， 故 12 sinPQAOQyy= 又因为 2 sin y AQ OAB = ，而OAB= 4 ，故 2 2AQy=由 9 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ = ，可得 5y1=9y2 由方程组 22 1 94 ykx xy = += ， ， 消去 x，可得1 2 6 94 k y k = + 易知直线 AB 的方程为 x+y2=0， 由 方程组 20 ykx xy = += ， ， 消去 x，可得 2 2 1 k y k = + 由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= 2 3 94k + ， 两边平方，整理得 2 5650110kk+=，解得 1 2 k =，或 11 28 k = 所以，k 的值为 111 228 或 22 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 22函数 2 ( )(3)1f xmxmx=+的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 （1）求 m 的取值范围； （2）对于（1）中的 m，设2tm=，不等式 311 ( 1) 2 t kttt tt + 恒成立， 求 k 的取值范围（ x表示不超过x的最大整数） 22. 0m时， 0 2 3 0 m m 解得10 m；0=m时，满足题意； 0m时，01)0(=f，满足题意 综上所述， 1 ,(m -4 分 由， 1 ,(m，则1t,1=t时， 3 8 k；21t时，2 2 3 k， 3 4 k； 2, nNn，当1+