重庆中山外国语学校高三数学上学期期中理PDF

理科数学第 1页共 4 页 重庆市中山外国语高2016级期中测试 理科数学 理科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要 求的 （1）设全集U R，集合A1， 0， 1， 2，B x|log2x 1，则A( UB) （A）1， 2（B）1， 0， 2（C）2（D）1， 0 （2）复数z满足z(12i) 3i，则z （A）1i（B）1i（C） 1 i 5 （D） 1 i 5 （3）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若7 3 a，12 3 S，则 10 a （A）10（B）28（C）30（D）145 （4） “ 1 cos2 2 ”是“ () 6 kkZ”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）已知定义域为I的偶函数( )f x在(0)， 上单调递增，且 0 xI， 0 ()0f x，则下列函数中符合上述 条件的是 （A） 2 ( )|f xxx（B）( )22 xx f x （C） 2 ( )log |f xx（D） 4 3 ( )f xx （6）已知向量a ，b 满足| 3ab 且(01)b ， ，若向量a 在向量b 方向上的投影为2，则|a （A）2（B）2 3（C）4（D）12 （7）中国古代名著孙子算经中的“物不知数”问题： “今有物不知其数，三 三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三 除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现 有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入 （A） 2 21 a Z （B） 2 15 a Z （C） 2 7 a Z （D） 2 3 a Z 1n 开始 结束 输出a 1nn 否 53an 是 理科数学第 2页共 4 页 （8）如图，在矩形ABCD中，2AB ，3AD ，两个圆的半径都是1，且圆心 12 O O， 均在对方的圆周上，在 矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 （A） 2+ 3 12 （B） 42 3 24 （C）10 6 3 36 （D） 8+3 3 36 （9）设函数6cosyx与5tanyx的图象在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数 sin2yx的图象于点B，则线段AB的长度为 （A）5（B） 3 5 2 （C）14 5 9 （D）2 5 （10）某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形， 则该几何体的表面积是 （A）18（B）88 3 （C）24（D）126 5 （11）已知双曲线 22 22 1(00) xy ab ab ， 的左右焦点分别为 12 FF， ，点P在双曲线的左支上， 2 PF与双曲线 的右支交于点Q，若 1 PFQ为等边三角形，则该双曲线的离心率是 （A）2（B）2（C）5（D）7 （12）已知函数( )lnf xxa，( )1g xaxb，若0 x ，( )( )f xg x，则 （14）已知实数x y， 满足 330 10 10 xy xy xy ，若目标函数zaxy在点(3 2)， 处取得最大值，则实数a的取值 范围为 2 O1 O A B C D 2 22 4 正视图侧视图 俯视图 2 b a 的最小值是 （A）1 e（B）1 e（C） 1 e（D） 1 2e 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做。第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填写在答题卡相应位置上 （13）某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100 件产品随机编号后分成5组，第一组1 20号，第二组21 40号，第五组81100号，若在第二组 中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为 理科数学第 3页共 4 页 （15）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调 研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 （用数字作答）. （16） 设集合 22 ()|(3sin )(3cos )1Ax yxyR， ， ，()|3410 0Bx yxy， ， 记PAB， 则点集P所表示的轨迹长度为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 12 分） 设函数 ( )cos(2)2sin cos 6 f xxxx （）求( )f x的单调递减区间； （）在ABC中，若4AB ， 1 () 22 C f，求ABC的外接圆的面积 次数10181282 将老李统计的各时间段频率视为相应概率， 假定往返的路况不变， 而且每次路上开车花费时间视为用车时间 （）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）； （）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”， 小刘拟租用该车上下班2天，设其中有天为“最优选择”，求的分布列和数学期望 （19） （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，ACBC， 1 C C平面ABC，侧面 11 ABB A是正方形，点E为棱AB的中点，点M、N分别在棱 11 AB、 1 AA上， 且 111 3 8 AMAB， 1 1 4 ANAA （）证明：平面CMN平面CEN； （）若ACBC，求二面角 1 MCNA的余弦值 E A N M C B A1 C1 B1 （18） （本小题满分 12 分） 重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1 元/公里0.2 元/ 分钟”刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他： “上下班往返 总路程虽然只有 10 公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约 1 小时” ，并将自己近 50 天的往返开车的花费时间 情况统计如下： 时间（分钟）15 25)，25 35)，35 45)，45 55)，55 65)， 理科数学第 4页共 4 页 （20） （本小题满分 12 分） 椭圆 22 22 :1 xy E ab (0)ab的左右焦点分别为 21 0)1(1 0()FF ， ， ， ，左右顶点分别为 21 AA， ，P为椭 圆E上的动点（不与 21 AA， 重合） ，且直线 1 PA与 2 PA的斜率的乘积为 4 3 . （）求椭圆E的方程； （）过 2 F作两条互相垂直的直线 1 l与 2 l（均不与x轴 重合）分别与椭圆E交于ABCD， ， ，四点，线 段AB、CD的中点分别为M、N，求证：直线 MN过定点，并求出该定点坐标. （21） （本小题满分 12 分） 已知函数( )lnf xx， 2 ( )g xaxbx(0)abR， （）若2a ，3b ，求函数( )( )( )F xf xg x的单调区间； （）若函数( )f x与( )g x的图象有两个不同的交点 11 ()xf x， 22 ()xf x，记 12 0 2 xx x ，设( )fx， ( )g x分别是( )( )f xg x，的导函数，证明： 00 ()()fxg x 请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按 所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 xt yt （t为参数） ，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为5cos . （）写出曲线 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程； （）记曲线 1 C和 2 C在第一象限内的交点为A，点B在曲线 1 C上，且 2 AOB，求AOB的面积. （23） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 ( ) |2|f xxxa （）若关于x的不等式( )f xa有解，求实数a的取值范围； （）若正实数m n， 满足2mna，当a取（）中最大值时，求 11 mn 的最小值 1 A B A 2 A C D 1 F 2 F x O y 1 l 2 l 理科数学 参考答案 一、选择题 16 BABBCA712 ADCCDB 第（12）题提示：由ln1xaaxb 得0a ，即ln10axxab ，令( )ln1h xaxxab， 1 ( )h xa x ，( )h x在 1 (0) a ， 上递减，在 1 () a ， 上递增， min 1 ( )( )ln20hxhaab a ， ln2 1 ba aa ， 令 ln2 ( )1 x u x x ， 2 ln1 ( ) x u x x ， min 1 ( )( )1uxue e ， 所以1 b e a 二、填空题 （13）64（14） 1 ) 3 ， （15）36（16）4 3 第（16）题提示：圆 22 (3sin)(3cos)1xy的圆心( 3sin3cos)， 在圆 22 9xy上， 当改变时，该圆在绕着原点转动， 集合A表示的区域是如右图所示的环形区域， 直线34100 xy恰好与环形的小圆相切， 所以AB所表示的是直线34100 xy 截圆 22 16xy所得的弦长. 三、解答题 （17） （本小题满分 12 分） 解： （） 31 ( )cos(2)sin2cos2sin2sin2 622 f xxxxxx 2 sin(2) 3 x 令 23 2 22 232 kxk，解得 5 1212 kxk，kZ 单调递减区间为 5 1212 kk， ，kZ6 分 （） 21 sin() 32 C ， 25 36 C ， 6 C ， 外接圆直径28 sin AB r C ，4r ，外接圆面积16S 12 分 （18） （本小题满分 12 分） 解： （）由题可得如下用车花费与相应频率的数表 花费1416182022 频率0.20.360.240.160.04 估计小刘平均每天用车费用为14 0.2 16 0.36 18 0.2420 0.1622 0.0416.96 6 分 （）可能的取值为0,1,2 用时不超过45钟的概率为0.8，(2 0.8)B， 002 2 (0)0.80.20.04PC， 111 2 (1)0.8 0.20.32PC 220 2 (2)0.80.20.64PC 012 P0.040.320.64 2 0.81.6E12 分 （19） （本小题满分 12 分） 解： （）设8AB ，则 1 3AM ，2AN ， 1 6AN ， 1 tan 2 AN NEA AE ， 1 1 1 tan 2 AM MNA AN ， 1 NEAMNA ， 又 2 NEAENA，所以 1 2 MNAENA，MNEN BCAC，CEAB， 111 ABCABC为直三棱柱，CE 平面 11 AAB B， MNCE，MN 平面CEN，平面CMN 平面CEN.5 分 （）由ACBC，以C为原点 1 CB CA CC ， ， 分别为x y z， ， 轴建立空间直角坐标系. 3 25 2 (8) 22 M， ， ，(0 4 2 2)N， ， 设平面CMN的法向量为 1 ()nx y z ， ， ， 由 1 1 1 0 (9 224) 0 n CM n n CN ， ， 平面 1 CNA的法向量 2 (1 0 0)n ， ， 设所求二面角平面角为， 12 12 3 10 cos 10| | n n nn 12 分 （20） （本小题满分 12 分） 解： （）设P 00 ()xy， ，由题 2222 22 000 0 222 1 xya y xa abb 222 00 00 00 34 43 yy xay xa xa 结合1c 得， 2 4a ， 2 3b 所求椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 （）设直线:(1)AB yk x，联立椭圆方程 22 3412xy得 2222 (43)84120kxk xk 得 22 22 184 2 4343 M kk x kk ， 2 3 (1) 43 MM k yk x k 2 2 2 4 4 4 43 3 N k x k k ， 2 2 1 3 () 13 (1) 4 43 3 NN k k yx kk k 由题，若直线AB关于x轴对称后得到直线A B ，则得到的直线MN 与MN关于x轴对称， 所以若直线MN经过定点，该定点一定是直线MN 与MN的交点，该点必在x轴上. 设该点为P (0)s， ，() MM MPsxy ， ，() MNMN NMxxyy ， 由/ /MPNM 得 NMMN MN x yx y s yy ，代入,M N坐标化简得 4 7 s 经过定点为 4 (0) 7 ， 12 分 （21） （本小题满分 12 分） 解： （） 2 ( )ln23F xxxx， 1(41)(1) ( )43 xx F xx xx ( )F x在 1 (0) 4 ， 上单调递增，在 1 () 4 ， 上单调递减. 4 分 （） 2 00 000 00 1 21 ()()(2) axbx fxg xaxb xx 2 22 12121212 00 2()() 1 21 2 () 222 xxxxa xxb xx axbxab 2 111 lnaxbxx， 2 222 lnaxbxx， 11 12121212 2122 1 ()()()ln()ln xx