二次函数临界问题(教师版)

二次函数临界问题1、 内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形结合的数形结合能力。本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问题的数学经验是核心。二、典型例题例1. 在平面直角坐标系中，已知A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：（1）若一次函数y=-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为_1b5_.（2）若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_k-1/3或k1（3）若二次函数y=ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为_a2/9_.（4） 若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为_-7c2_.小结：以上四个问题具有什么共同点？区别又是什么?解题过程中有哪些相同的步骤？都有线段AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态4、代入临界点求出范围 5、检验临界点合理性思考：以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化？例2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x-1)2-1（m0）与x轴的交点为A，B定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点若线段AB上（包括端点）恰有5个整点，结合函数的图象，求m的取值范围分析：临界位置（1）与x轴两交点为x=-1或x=3，可以取到 x=3时,y=4m-10, m1/4（2）与x轴两交点为x=-2或x=4，不可以取到x=3时,y=9m-10, m1/9 综上，1/9m1/4例3：抛物线 y=x2-4x+3 与 y轴交于点D，与x 轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线y=kx -1与图象G有两个公共点，请结合函数图象，求k的值或取值范围.分析：临界位置（1） 平行于x轴，k=0, 不可以取到（2） 过点（3,0），k=1/3，可以取到综上：0k1/3变式：抛物线 y=x2-4x+3 与 y轴交于点D，与x 轴交于点E、F（点E在点F的左侧），将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y=x+b与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b的值或取值范围.b-3例4：（1）已知：，若只有当时，则解析式为 _= -2x+1_（2）将的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B已知一次函数.设点H(m,0)是x轴上一动点，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点 N若只有当时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出b的值_6或-6_（3）已知：，设点H(m,0)是x轴上一动点，过点H作x轴的垂线，交于点P，交于点Q若只有当时，点P在点Q下方，请写出一个符合题意的解析式_= -x2+2x+3_（满足y=a(x+1）(x-3),其中a0开口向下或者0a1开口大于y1即可)（4）已知：，若当时，请写出一个符合题意的的值_m=0 (只需交点横坐标m-11即可，即m2)_小结解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形；2、对于不确定的图形，确定其运动方式；3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）；4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）；5、检验边界合理性.三、真题演练1（2016北京27题）27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。当m1时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。解析：（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为(1,-1).（2）解：时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；抛物线顶点为(1,-1)，则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令，得到A、B两点坐标分别为，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到，。2.（2015北京27题）在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线，与直线交于点A，点A关于直线的对称点为B，抛物线经过点A，B。(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围。3.（2014北京23题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围解：（1） y=2x2+ mx+ n经过点A（0，-2），B（3，4） 代入，得： n = -2 18+3m+n =4 m = -4；n = -2 抛物线的表达式为：y = 对称轴为：x = -1 （2）由题意可知：C（-3，-4） 二次函数 的最小值为4； 由图像可以看出D点坐标最小值即为4； 最大值即BC的解析式： 当x = 1时，y = 4 t 4.（2013北京23题）在平面直角坐标系O中，抛物线（）与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B。（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。【解析】（1）当时，.抛物线对称轴为（2）易得点关于对称轴的对称点为则直线经过、.没直线的解析式为则，解得直线的解析式为（3）抛物线对称轴为抛物体在这一段与在这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在这一段位于直线的上方在这一段位于直线的下方；抛物线与直线的交点横坐标为；当时，则抛物线过点（-1，4）当时，抛物线解析为.5.（2012北京23题）已知二次函数 在和时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。解：（1）由题意得. 解得. 二次函数的解析式为.（2）点在二次函数的图象上， . 点的坐标为. 点在一次函数的图象上， . （3）由题意，可得点的坐标分别为. 平移后，点的对应点分别为 . 将直线平移后得到直线 . 如图1，当直线经过 点时，图象（点除外） 在该直线右侧，可得； 如图2，当直线经过 点时，图象（点除外） 在该直线左侧，可得. 由图象可知，符合题意的的取值范围是.6.（2011北京23题）在平面直角坐标系xOy中，二次函数ymx2(m3)x3(m0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(1)求点A的坐标；(2)当ABC45时，求m的值；(3)已知一次函数ykxb，点P(n，0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数ymx2(m3)x3(m0)的图象于N若只有当2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式分析：（1）令y=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m0，所以求得点A的坐标；（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由ABC=45，从而求得；（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得解答：解：（1）点A、B是二次函数y=mx2+（m3）x3（m0）的图象与x轴的交点，令y=0，即mx2+（m3）x3=0解得x1=1，又点A在点B左侧且m0点A的坐标为（1，0