高中数学备课参考数学通报问题解答0709pdf

64 数学问题解答 2007年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1686 ABC中,A 90, AB AC,高线BE、CF交于 H ,O为 ABC的外心,且AO = A H ,BA C的平分线A D所 在直线交BE , CF的延长线于 M、N.求证: HM = HN . (福建厦门九中 陈四川 361004) 证明 因为AB AC, ABC ABC+ 1 2 BA C,即ACB+ CA DABC+ BA D ,所 以,ADC2 (江西南昌大学附中 宋庆 330029) 证明 因为a + b c,b + c a,c + a b,所 以02 c + a - b a + b + c + a + b - c a + b + c + b + c - a a + b + c =2. 所以 c + a - b a + a + b - c b + b + c - a c 2. 令a = n +1,b = n 2 + n,c = n 2 +1( n 0 ) , 则 当n 时, c + a - b a + a + b - c b + b + c - a c = 2 n +1 + 2 n +1 + 2n 2 n 2 +1 2, 故系数2不可改进. 1690 设u( x) =2 x( 1-x) -5x 2 +2x -1 (1)求函数 u( x) 的最小值. (2)求不等式 u( x) 0的解. (江苏省江都市大桥高级中 学 党庆寿 225211) 解 (1)因 u( x) 的定义域为0x1,故令 x = 1 2 + 1 2 cos,0,这时 u =2( 1 2 + 1 2 cos ) 1 - ( 1 2 + 1 2 cos ) ) - 5( 1 2 + 1 2 cos) 2 +2( 1 2 + 1 2 cos ) - 1 =sin- 5 4 (cos+ 3 5 ) 2 - 4 5 又sin 0,cos 1, 且 =0时,sin=0,cos =1. 所以u0 - ( 5 4 (1+ 3 5 ) 2 - 4 5 = -4,且等号取 得时x = 1 2 + 1 2 1,即 u( x) 的最小值为-4. (2)因定义域0x1 ,u( 0 ) = - 11 时, n i =1 aiC 1 n;当m 2时, ij aiajC 2 n,当m k时, i1, i2,ik互异a i1ai2aikC k n, n i =1 aiC n n. (江苏丹阳市教研室 戎健君 210013) 1694 设a,b,cR + ,且a + b + c =1,求y = 3 a +1+ 3 b +1+ 3 c +1的取值范围. (南京市上新河中学 丁兴春 210036) 1695 已知m为奇数,求证: k m + ( 2 k) m + + ( 2007 k) m k +2k +2007k的整数倍. (安徽省芜湖市第13中学 杨晋 241002) 数学通报2007年增刊(北京市高中数学应用竞赛优秀论文选)已编辑出版,每本定价8元,欲购 者请汇款到北京师范大学数学通报编辑部.邮编:100875 刊号:ISSN