高中数学备课参考数学通报问题解答0710pdf

64 数学问题解答 2007年9月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1691 ABC中, AB= AC, D 在BC上且BD =2DC; E在A D 上且 AB E =CA E. 求证:BED =2CED. (安徽省怀宁县江镇中学 黄全福 246142) 证明 易知 BED =AB E +BA E = CA E +BA E =BA C. 又 BDE BCA =CBA DB E ED 1时, n i =1 aiC 1 n,当m 2时, ij ajajC 2 n, 当m k时, i1,i2ik互异a i1ai2aikC k n, n i =1 aiC n n. (江苏丹阳市教研室 戎健君 210013) 证明 由幂平均不等式得 n i =1 ai n n i =1 a m i n 1 m =1. ( m 1) 所以 n i =1 ain = C 1 n, n i =1 a 2 i n 1 2 n i =1 a m i m 1 m =1. ( m 2 ) , 所以 n i =1 a 2 in, 而2 ij aiaj ( n - 1) n i =1 a 2 i, 所以 ij aiaj n( n -1) 2 = C 2 n, 一般地,由算术平均 几何平均不等式得 a k 1+ a k 2+ a k k-1+ a k kka1a2ak-1ak a k 1+ a k 2+ a k k-1+ a k k+1ka1a2ak-1ak+1 a k 1+ a k n- k+2+ a k n-1+ a k nkanan- k+2an-1an a k n- k+1+ a k n- k+2+ a k n-1+ a k n kan- k+1an- k+2an-1an 以上各式左端均有k项,且每个a k i (i = 1,2, n) 分别含在C k-1 n-1个式子中,将以上各式相加得 C k-1 n-1 n i =1 a k ik i1,i2,ik互异a i1ai2aik, 而当m k时, n i =1 a k i n 1 k n i =1 a m i n 1 m =1, 所以 n i =1 a k in,所以 i1,i2,ik互异a i1ai2aik n k C k-1 n-1= C k n, 又n = n i =1 a m in n ( a 1a2an) m 所以a1a2an1= C n n. 1694 设a,b,cR+且a + b + c =1,求y = 3 a +1+ 3 b +1+ 3 c +1的取值范围 (南京市上新河中学 丁兴春 210036) 解 先求上界 由幂平均不等式有: ( 3 a +1+ 3 b +1+ 3 c +1 3 ) 3 ( a + 1) + (b +1) + (c +1) 3 = 4 3 , 从而 3 a +1+ 3 b +1+ 3 c +13 3 4 3 = 3 36. 当且仅当a = b = c = 1 3 时取等号. 再求下界 设 3 a +1= 3 x 3 a +3x 2 a +3xa +1, 其中x 3 a +3x 2 a +3xa = a, 即x 3 +3x 2 +3x =1解得x = 3 2-1, 由于0 xb +1, 3 c +1 xc +1, 以上三式相加有: 3 a +1+ 3 b +1+ 3 c +1 x( a + b + c) +3 = x +3= 3 2+2 易知当a1,b0,c0时 3 a +1+ 3 b +1+ 3 c +1 3 2+2 从而 3 a +1+ 3 b +1+ 3 c +1 3 2+2不能 改进. 所以 3 2+20,且a + b =1,求证: a a 3 + b 4+ b a 4 + b 316 3 . (浙江省绍兴市高级中学 戴志祥 312000) 1697 已知 ABC中, AB AC,点D1在BC上, 连结AD1,作D1F1AB于F1, D1F2直线AC于 F2,连结F1F2,作AGF1F2于G,交BC于D2, AE 为 ABC的 BA C外角的平分线.求证: 1 BE + 1 CE = 1 ED1 + 1 ED2 . (北京朝阳区教研中心 郭璋 100028) 1698 ABC的三边长分别为a ,b,c,且b 2 = ac.求 证: - 9 5 10 + 7 2 a a + b + b b + c + c c + a 9 5 10 - 1 2 . (陕西省绥德中学 刘永春 718000) 1699 证明 : ( 1) 21 13 - 8 8n +5 n k =1 1 k 2 5 3 - 2 2n +1 ( n 1, nN+) (2) 269 164 - 16 16n +9 n k =1 1 k 233 20 - 2 2n +1 ( n 2, nN+) (陕西省绥德中学 王守文 718000) 1700 (1)若x1, x2, x20051,4 ,且x1+ x2+ + x2005=5012,试求x1x2x2005的最小值; (2)若x1, x2, x20051,4 ,且x1x2x2005 =2 2005 ,试求x1+ x2