高中数学备课参考数学通报问题解答0609pdf

数学问题解答 2006年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1626 如图,已知,半圆O的 直径AB =8 cm,弦AD = CD =2 cm,求:BC的长. (安徽省肥西中学 刘运 宜 231200) 解 连结AC, BD. 在RtADB中,由勾股定理,得 BD =AB2- AD2=82-22=215. 由锐角三角函数,得 sinDAB = BD AB = 215 8 = 15 4 . 在RtABC中,由锐角三角函数,得 sinABC = AC AB = AC 8 . 因为S四边形ABCD= SABD+ SBCD = 1 2 ADABsinDAB + 1 2 CDCB sinDCB = 1 2 28sinDAB + 1 2 2BC sinDAB = ( 8+ BC)sinDAB = 15(8+ BC) 4 . 同理:S四边形ABCD= SACD+ SABC = AC( 2BC +1) 4 . 所以 15(8+ BC) 4 = AC( 2BC +1) 4 , 所以AC = 15(8+ BC) 2BC +1 , 在RtABC中,由勾股定理,得 AC2+ BC2= AB2, 即 15(8+ BC) 2BC +1 2 + BC2=82, 化简整理,得 BC4+ BC3-60BC2-4BC +224=0, 解这个高次方程,得 BC =7, BC = -8, BC =2, 因为BC = -8, BC =2均不合题意,故舍去, 所以BC =7(cm ) . 1627 设x , yR, M为x2+ xy + y2, x2+ x( y -1) + ( y -1) 2 , ( x -1) 2 + ( x -1) y + y2, ( x -1) 2 + ( x -1) ( y -1) + ( y -1) 2 中最大的数,求M的最小值. (广东佛山市南海区石门中学 罗建中 528248) 解得 B3 ra2-r2 a , - r2 a , B2 - ra2-r2 a , - r2 a . 所以A4A6方程为 ra2-r2 a x - r2 a y = r2,即 a2-r2x -ry = ar. 又B1(0, r) ,易得直线A3A6方程为 y = a + r a2-r2 x + r. 代入 得 A6 ra2-r2 a -2r , r( 2a - r) a -2r . 因A2, A6关于y轴对称,故可设 C( 0, y) ,由 | CA6| =| CA4|得, (0- ra2- r2 a -2r )2+y - r( 2a - r) a -2r 2 = ( y + a)2 解得 y = a( 4r - a) 2 ( a - 2 r) . 所以C0, a( 4r - a) 2 ( a - 2 r) ,圆C的半径为 | y + a | = a( 4r - a) 2 ( a - 2 r) + a= a2 2| a -2r | . 显然当a =4r时,圆C的圆心 C( 0,0)与原点重 合,圆C的半径为4r,此时就是本文开始时的题目. 当a =2r时,易知 B2A4B3=60,B1B2A4 =120,此时A4B3B2B1 图2就构造不出来. 下面提出两个待解决的问题: 10 本题的最少直线数有无可能小于20条? 20 题中的条件改为 “外圆上有2n个点,内圆 上有n个点”,结合又如何? 362006年 第45卷 第9期数学通报 解 根据题设知 6M3 ( x 2 + xy + y2) + x2+ x( y -1 ) + ( y - 1) 2 + ( x -1) 2 + ( x -1) y + y2+ ( x - 1) 2 + ( x -1) ( y -1) + ( y -1) 2 =6x2+6xy +6y2-6x -6y +4 = 9 2 ( x + y) 2 + 3 2 ( x - y) 2 -6x -6y +4 = 9 2 x + y - 2 3 2 + 3 2 ( x - y) 2 +2 2, 当x = y = 1 3 时, M为 1 3 ,即M的最小值为 1 3 . 1628 直线l : x m + y n =1与椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1 ( a 0, b 0, a b) 交于P, Q两点, O为椭圆的中 心,求证 POQ = 2 的充要条件是 1 m2 + 1 n2 = 1 a2 + 1 b2 . (四川省蓬安中学 蒋明斌 637851) 证明 先证必要性,设 POQ = 2 .设 P(| OP |cos, | OP |sin ) , 则 Q( - | OQ |cos( 2 +) , | OQ | sin( 2 +) ) = (| OQ |sin, | OQ |cos ) , 因为P, Q在椭圆上, 所以| OP | 2cos2 a2 + | OP | 2sin2 b2 =1, 1 | OP | 2 = cos2 a2 + sin2 b2 , | OQ | 2sin2 a2 + | OQ | 2cos2 b2 =1, 1 | OQ | 2 = sin2 a2 + cos2 b2 , 于是 1 | OP | 2 + 1 | OQ | 2 = 1 a2 + 1 b2 , 在直角三角形POQ中,设PQ边上的高为d ,则 d等于点O到直线l的距离,由点到直线的距离公 式,有d =1/ 1 m2 + 1 n2 ,又 | OP | | OQ | = d| OP | 2 +| OQ | 2 , 即 1 | OP | 2 + 1 | OQ | 2 = 1 d2 , 所以 1 m2 + 1 n2 = 1 a2 + 1 b2 . 再证充分性,设 1 m2 + 1 n2 = 1 a2 + 1 b2 ,令A = 1 m , B = 1 n ,则A2+ B2= 1 a2 + 1 b2 ,显然AB0, l的方 程为Ax + By =1,设P( x1, y1) , Q( x2, y2 ) , 联立方 程 Ax + By =1 x2 a2 + y2 b2 =1, 分别消去x , y得 ( b 2B2 + a2A2 ) x 2 -2Aa2x + a2-a2b2B2=0 ( b 2B2 + a2A2 ) y 2 -2Bb2y + b2-b2a2A2=0 则x1, x2是方程 的解, 所以x1x2= a2-a2b2B2 ( b 2B2 + a2A2) y1, y2是方程 的解, 所以y1y2= b2-b2a2A2 ( b 2B2 + a2A2) 显然, x1, x2不可能同时为零,不妨设x20, x1=0,则 P( 0, b) 且a2-a2b2B2=0 | bB | =1代入A2+ B2= 1 a2 + 1 b2 ,有 A2= 1 a2 ,即| Aa | =1, 所以x2= 2Aa2 ( b 2B2 + a2A2) = 2Aa2 2 = 1 A =a , 即 Q( a ,0 ) , 此时显然有 POQ = 2 ; 若x10,注意到由A2+ B2= 1 a2 + 1 b2 , 有 1 a2 - A2= B2- 1 b2 , 所以kOPkOQ= y1y2 x1x2 = b2-b2a2A2 a2-a2b2B2 = 1/ a2- A2 1/ b2- B2 = B2-1/ b2 1/ b2- B2 = -1, 所以OPOQ ,故 POQ = 2 . 1629 求证:对任意自然数n ,2 n +1不能被35整 除. (江苏省泰州市第四中学(高中部) 陈稳桂 225300) 证明 (1)不难验证:21+1,22+1,212+1都 不能被35整除. 46数学通报 2006年 第45卷 第9期 (2)假设存在大于12的自然数n有 2 n +1能被35 ( = 25+2+1)整除,则 2 n +1=2 n-5(25 +2+1 ) - 2 n-4 -2 n-5 +1,即 -2 n-4 -2 n-5 +1能被35整除,又 -2 n-4 -2 n-5 +1 = -2 n-9(25 +2+1 ) - 2 n-10(25 +2+1 ) + 2 n-8 +2 n-9 +2 n-9 +2 n-10 +1 = -2 n-9(25 +2+1 ) - 2 n-10(25 +2+1 ) + 2 n-7 +2 n-10 +1即 2 n-7 +2 n-10 +1能被35整除,又 2 n-7 +2 n-10 +1=2 n-12(25 +2+1 ) + 2 n-10 -2 n-11 -2 n-12 +1 =2 n-12(25 +2+1 ) + 2 n-12 +1 即2 n-12 +1能被35整除,令n = n -12重复(2) 得到2 n-24 +1能被35整除 总有一个自然数k , 重复(2 ) k 次后使得n -12k12且2 n-12k +1能被 35整除与(1)矛盾.所以2 n +1不能被35整除. 1630 质点A位于数轴x =0处,质点B位于x =2 处,这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单 位,设向左移动的概率为 1 3 ,向右移动的概率为 2 3 . (1)求3秒后,质点A在点x =1处的概率. (2)求2秒后,质点A、B同时在点x =2处的概 率. (3)假若质点C在x =0, x =1两处之间移动: 当质点C在x =0处时,1秒后必移到x =1处;当质 点C在x =1处时,1秒后分别以 1 2 的概率停留在x =1处或移动到x =0处.现质点C在x =1处,求: 8秒后质点C在x =1处的概率. (山东枣庄,第三中学 黄丽生 277100) 解 (1)3秒后,质点A到x =1处,必须经过两 次向右,一次向左移动. 所以P = C23 2 3 2 1 3 = 4 9 . (2)2秒后,质点A、B同时在点x =2处,必须质 点A两次向右,且质点B一次向左,一次向右,故P = 2 3 2 3 C122 3 1 3 = 16 81 . (3)设第n秒后,质点C在x =1处的概率为 xn,质点C在x =0处时的概率为yn,由题意可知: xn+1= 1 2 xn+ yn. 由xn+ yn=1,得xn+1=1- 1 2 xn. 所以3xn+1-2 = ( 3xn-2) ( - 1 2 ) . 所以3xn-2是首项为3x1-2=31 2 -2= - 1 2 .公比为- 1 2 的等比数列. 所以xn= 1 3 2+ ( - 1 2 ) n 故当n =8时, x8= 171 256. 所以8秒后,质点C在x =1处的概率为171 256. 2006年9月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1631 过双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1( a 0, b 0)的右焦 点F作B1B2x轴,交双曲线于两点B1, B2. B2F1 交双曲线于B点,连结BB1交x轴于H点,求证:过 H垂直于x轴的直线是双曲线的 “左” 准线. (北京宏志中学 王芝平 100013) 1632 已知x , y , zR+,且x + y + z =1,求 1 x5 + 5 2y2 + 20 z 的最小值. (重庆市夏 中学 余明荣 400700) 1633 若a , b