三角恒等变换 - 最全的总结· 学生版

三角恒等变换-完整版三角函数-三角恒等变换公式：两角和与差的三角函数关系sin()=sincoscossincos()=coscossinsin倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2平方关系sin2+ cos2=1， 半角公式，=商数关系=tan升幂公式1+cos= 1-cos= 1sin=()21=sin2+ cos2 sin=降幂公式sin2 cos2 sin2+ cos2=1 sincos=考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为的是（ ）AB CD2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)的值是 A. B. C. D.3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考)等于 ABCD4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（ ）.Asin45cos15+cos45sin15 Bsin45cos15cos45sin15Ccos75cos30+sin75sin30 D 5、（拆角+两角和差公式）（ 佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式（ ）AB1C2D6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20cos40cos60cos80（ ）ABCD 常见变式：计算sin 10sin 30sin 50sin 70的_.7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sin sin ，cos cos ，则cos()的值为( )A. B. C. D18（诱导公式）【2015广东东莞高一期末】sin163sin223sin253sin313等于 BA B. C D. 9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考四川，理12】 .10、（逆向套用公式）tan 23tan 37tan 23tan 37的值是_11（特殊值化特殊角处理）化简的值为_12. （特殊值化特殊角处理）_13、(tan 45tan(2025)+多项式展开)若20，25，则(1tan )(1tan )的值为_ 14、（合理组合，多项式乘法展开）(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)的值为_15、（逆向套用公式）tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10_ _.答案：BDBCB CAB 9、 10、 11、 12、 13、2 14、3 15、1（2）角的整体变换题：主要方法是拿题目给出的整体角加一加，或者减一减，观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等，从而运用诱导公式、和差公式化简求值。例如：， 1、（角的整体相减）(2011汕头期末)已知等于（ ）ABCD2、（两角互补）.【山西大学附中2014-2015年高三月考】若，则的值为（ ） A B C D3.（诱导公式）【湛江一中14年期末考试】如果，那么的值为（ ）. 4. （两角相减）【江西省九江外国语学校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题】已知，则( ) A. B. C. D. 5、（两角相加）.【2013-2014学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷】若，则 =（）AB. C. D. 6.（特殊角三角函数值）【浙江省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理14】已知，则 .7、（两角整体相减）【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，理2】若，则 8、（互余两角正余弦互换） 【四川雅安中学20142015学年上期9月试题，理11】若_.9、（互补两角余弦互为相反数），则_10.（两角整体相减）若，则 11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若且，则 ； 12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知，则的值为_ 13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知,则 14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知，则= 。答案：BDACB 6、 7、 8、 9、-10、 11、 12、3 13、 14、（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos 2） 注意分母还原sin2+ cos2=1，然后分子分母同时除以cos2，即可化为正切 3）注意期间学会使用解方程的思想 4）遇到部分Asin + Bcos 之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化1.（诱导公式+同时除以cos ）(2007韶关一模文)已知，(A)2(B)2(C)0(D)2、（同角三角函数弦化切）(2013肇庆统考)已知为锐角，sin，则tan()等于 A、B、7C、D、73、（简单弦化切）（2011福建文3）若tan=3，则的值等于 A2 B3 C4 D64. （分子分母同时除以cos） (2012高考江西文4)若，则tan2= A. - B. C. - D. 5、（分母还原1+同时除以cos2）（2009辽宁卷文）已知，则 （A） （B） （C） （D）6. （分母还原1+同时除以cos2）【淄博实验中学2015届高三，理5】已知，则的值是（ ）A B C D7.（移项后两边平方在弦切互化）(唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7).已知，则（ ）A B C或0 D或08、（两边平方在弦切互化）【成都七中2015届数学阶段性测试，理8】已知，则（ ）A B C D9、（解方程组+同角三角函数的快速弦切互化）【2015安徽滁州高一期末】已知=（ ）A1B2C2D10、（两边平方在弦切互化）（洛阳市2014届高三12月统考）已知2sincos，则tan2A A B C D11、（两边平方在弦切互化）（省实验中学2014届高三上学期期中考试）已知，则等于（ ）A B C D1 12、（解方程组再弦切互化）【2015福建晋江高一期末】若，则为 A、5 B、-1 C、6 D、13、 （分母还原1+同时除以cos2）已知，则的值为 14、（二倍角+分母还原1+同时除以cos2）若，是第三象限的角,则=_答案：BCDBD ADBCA CA 13、 14、-2（4）：结合完全平方公式和平方差公式的作用。 最经典的莫过于，三者知一求二： 在不同的范围三角函数值大小的比较（如下图），往往用于更加精确象限，常见于“知一求二”的符号问题。 本类题型要三个常见处理思想， 1）是两边平方。2）是是根据上图进行逻辑判断。3）对于两大公式和的顺向和逆向快速转换，要形成解题敏感点。1.（两边平方）【2012高考辽宁文6】已知，(0，)，则= (A) 1 (B) (C) (D) 12.（两边平方+象限定号）（2012全国卷）已知为第二象限角，则cos2= (A) （B） (C) (D)3、（公式的快速展开+两边平方）（开滦二中2014届高三12月月考，文） 已知，则的值为（ ）A B CD4、（公式的快速展开）（2013年高考课标卷（文6）已知，则（A） （B） （C） （D）5. （公式的快速展开+两边平方）（2011辽宁文7）设sin，则 （A） （B） （C） （D）6、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(2013六校联考)已知等于（ ）ABCD7、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）（2007海南宁夏理）若，则的值为（ ） 8、（两边平方）【河南省名校2015届高三上学期期中数学，理3】已知sin2，（，0），则sincos（ ）A B C D9.（两边平方）【江西省六校2015届高三上学期第一次联考，理5】已知，则sin 2的值为（ ）A B C D. 10.（两边平方+象限定号）【浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理6】已知为第二象限角，则（ ）A. B. C. D.11、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015广东汕头高一期末】若，且，则的值为（ ）A1或 B1 C D12、（两边平方+象限定号）（衡水中学2014届高三二调考试，文） 已知，且则的值为（ ） A B C D13、（公式的快速展开+两边平方）【河北省唐山市20142015学年度高三年级摸底考试5】已知，则sin2x的值为 A. B.C. D.14、（公式的快速展开+两边平方）【南昌二中20142015学年度上学期第三次考试，理3】已知，则（ ）A B C D15、（两边平方+韦达变换）（惠州市2016届高三第三次调研）已知，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）16. （象限定号）【2015浙江温州高一期中】设,且,则（ ）A. B. C. D.17. （公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015山东泰安高一期末】若，则，则的值为（ ）A.B. C. D.18、（两边平方）（2013云浮一中期末）已知，则_19. （公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(华师附中2015届高三第一次模拟考试数学理14)若，且，则的值为 答案：AABAA CCBBC ACACB CD 18、 19.、1或（5）两角和差公式，降幂公式，升幂公式的运用，主要涉及两大方向的运用。1）是碰到有平方出现的条件，根据题目的倍角关系，要有降幂的意识。2）同时出现正余弦，要根据同角三角函数的关系，要有化二元为一元转化为二次函数的思想。1.【2012高考全国文4】已知为第二象限角，则 （A） （B） （C） （D）2 （2013年高考大纲卷（文2）已知是第二象限角, ABCD3(2008广州一模文)已知，则的值为（ ）A B C D4、(2013六校协作题)若，则的值为 （ ）A B C D5、【皖南八校2015届高三第一次联考，理6】函数的最小值与最大值的和等于( ) A.-2 B.0 C. D.6 【浙江省嘉兴市2015届高三9月学科基础测试，理6】已知函数则函数的最大值是（ ）A.4 B.3 C.5 D. 7、 （