高中数学备课参考数学通报问题解答0702pdf

数学问题解答 2007年1月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1651 已知x , y , zR+, nN, 求 证: x nx + y + z + y x + ny + z + z x + y + nz 3 n +2. (陕西省绥德中学 刘永春 718000) 证明 当n =1时,不等式显然成立. 当n2时, 设 nx + y + z = a , x + ny + z = b, x + y + nz = c , 则 x = ( n + 1 ) a - b - c n( n +1 ) - 2 , y = ( n +1) b - c - a n( n +1 ) - 2 , z = ( n +1) c -a - b n( n +1 ) - 2 . 于是 x nx + y + z + y x + ny + z + z x + y + nz = 1 ( n + 2) ( n -1) ( n +1) a -b - c a + ( n +1) b - c - a b + ( n +1) c -a - b c = 1 ( n + 2) (n -1) 3 (n + 1 ) - b a + a b - c a + a c - c b + b c 1 ( n +2) ( n -1) (3n +3-6) = 3 ( n - 1) ( n + 2) ( n -1) = 3 n +2. 1652 在 ABC中, 求证:sin A 2 cos B 2 +sin B 2 cos C 2 +sin C 2 cos A 2 3 3 4 (山东省高青二中 董 林 256300) 证明 不妨设ABC,则有 sin A 2 sin B 2 sin C 2 及cos A 2 cos B 2 cos C 2 成立,由排序不等式可得 sin A 2 cos B 2 +sin B 2 cos C 2 +sin C 2 cos A 2 sin A 2 cos C 2 +sin B 2 cos B 2 +sin C 2 cos A 2 =sin A 2 + C 2 +sin B 2 cos B 2 =cos B 2 1+sin B 2 设x =sin B 2 ,由ABC知B0, 2 , 则x0, 2 2 . 令f ( x) =cos2 B 2 1+sin B 2 2 = ( 1-x2) (1 + x) 2 =1+2x -2x3-x4, 则f( x) =2-6x2-4x3=2(1-2x) ( x +1) 2 , 令f( x) =0,得x = 1 2 , 罗素悖论则提醒我们,在研究关于集合的理论 时应该小心地避免矛盾.因而产生了罗素的 “类型 理论”;由E. Zermelo提出又经A.A. Fraenkel改进的 ZFC公理集合论;还有另外几种公理集合论.其中以 ZFC公理集合论被数学家们用得最多. 5 顺便说一下:有不少数学家认为不必要使用数 理逻辑及公理集合论,因为他们的数学思维已经十 分严密了.但是,无情的事实说明:数理逻辑的各分 支(包括公理集合论)可以用来帮助解决其他数学 学科中的困难问题,这方面的例子现在已有不少, 读者可参看各种数学书刊或下列参考文献. 6 另外,悖论并不只是数学中才有.据说在著名小 说 唐 吉诃德 中(笔者未看过,是叶菁菁同志告 知的,而叶又是听她母亲丁钟女士说的)也有下列 的悖论 从前有一个国王,为他的国家制定了如下一条 法律:任何外国人来旅游时,国王都要问他一句话: “你来我国做什么?”;如果他说真话,则平安无事; 如果他说假话,则要被绞死.一天有个聪明的外国 人A来旅游,国王问A后, A回答说:“我是来被绞 死.” 这就使国王犯了愁:如果不绞死A ,则A的话 成为假话,按法律应把A绞死;如果把A绞死,则A 的话成为真话,按法律A应平安无事,怎么办?国王 只好承认自相矛盾,该打自己的耳光. 参考文献 1 王世强,杨守廉.独立于ZFC的数学问题.北京师范大学出版 社,1992. 2 王世强,孟晓青.数理逻辑与范畴论应用.北京师范大学出版 社,1999. 46数学通报 2007年 第46卷 第2期 由于当 1 2 x 2 2 时,f( x)0, 而当00, 所以a2 + ( 2x -b - c) (2x + b + c) =0, 即x2= ( b + c) 2 -a2 4 , 就是AD = ( b + c) 2 -a2 2 . (1)充分性:若 A =90,则有: a2= b2+ c2, 那么:AD2= ( b + c) 2 -a2 4 = b2+2bc + c2-a2 4 = 1 2 bc = SABC. (2)必要性:若SABC= AD2,利用三角形面积 的海伦公式有: p( p -a) ( p -b) ( p - c)= AD2, 即: ( a + b + c) ( b + c -a) ( c + a -b) ( a + b - c) 16 = ( b + c) 2 -a2 4 2 = ( b + c + a) 2( b + c - a) 2 16 . 所以( c + a -b) ( a + b - c) = ( b + c + a) ( b + c -a) , 有a2- ( b - c) 2 = ( b + c) 2 -a2, 即:2a2= ( b + c) 2 + ( b - c) 2 =2 ( b 2 + c2 ) , 所以a2= b2+ c2,故 A =90. 1654 某建筑物内一个水 平直角形过道如图所示,两 过道的宽度均为m米,有一 个水平截面为矩形的设备 需要水平移进直角形过道, 若该设备水平截面矩形的宽为r米,长为L米. ( m r 0 ) . 试找出该设备能水平移进拐角过道的条 件. (浙江省三门中学 邬天泉 317100) 解 由题设,我们以直线OB , OA分别为x轴, y轴建立直角坐标系,问题可转化为:求以M( m , m) ( m 0)点为圆心,半径为r的圆的切线被x的 正半轴和y的正半轴截的线段AB长的最小值. 设直线AB的方程为 x a + y b =1, 因为它与圆 ( x - m) 2 + ( y - m) 2 = r2相切, 所以 m a + m b -1= r 1 a2 + 1 b2 (1) 又因为原点0(0,0)与点M( m , m)在直线 x a + y b = 1的异侧,所以 m a + m b -10,故(1)式可化为 ra2+ b2= m( a + b) -ab(2) 下面求| AB | =a2+ b2( a 0, b 0)的最 小值. 设a =sin, b =cos,0, 0, 2 , 代入(2)得 = m( sin-cos ) - r sincos (3) 再设t =sin+cos,由0, 2 ,有t(1, 2.sincos= t2-1 2 ,代入(3)得= 2mt -2r t2-1 ,有 t2-2mt -+2r =0, 记 f ( t) =t2-2mt -+ 2r, t(1,2 , r 0. 这里 f ( 1)= -2( m - r) 0,所以t2-2mt -+2r = 0,在t(1,2内有解 f ( 2 ) = -2 2m +2r0 2 2m -2r.这 时t =2 = 4 .这说明能水平移过的宽r米的 矩形的长L至多为min( t) =22m -2r. 所以当0L22m -2r时,该设备才能水 平移进过道. 1655 设T是一个周长为1的三角形, a , b, c为T的 三边长,证明:13 27 a2+ b2+ c2+4abc 1 2 (山东庄市第三中学 黄丽生 277100) 解 由条件可知:0 a , b, c 1 2 . 所以0 1 2 -a 1 2 -b 1 2 - c = 1 8 - 1 4 ( a + b + c) + 1 2 ( ab + bc + ca) -abc = - 1 8 + 1 4 (1-a2-b2- c2 ) - abc = 1 4 1 2 -a2-b2- c2-4abc 所以a2+ b2+ c2+4abc 1 2 , 又因为0 1 2 -a 1 2 -b 1 2 - c 1 2 -a + 1 2 -b + 1 2 - c 3 3 = 1 216 所以 1 8 - 1 4 ( a + b + c) + 1 2 ( ab + bc + ca) -abc 1 216 , ( ab + bc + ca) -2abc2 1 216 + 1 8 , 1-a2-b2- c2-4abc4 1 216 + 1 8 , 所以a2+ b2+ c2+4abc13 27 . 等号成立条件是:当且仅当a = b = c = 1 3 时取等 号. 综上:13 27 a2+ b2+ c2+4abc 1 2 . 2007年2月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1656 设奇数n3, an- 1 1 + an- 1 2 + an- 1 n + ( n - 1 ) a 1a2an=1, 求证:( an- 1 1 -1 ) ( a n-1 2 -1) + ( an- 1 2 -1 ) ( a n-1 3 -1 ) + + ( an- 1 n -1 ) ( a n-1 1 -1)0. (浙江宁波甬江职高综合高中部 邵剑波 315000) 1657 设D , E, F是 ABC的旁心,BCD ,CAE, ABF的内切圆分别是 O1,O2,O3,求证: (1)此三圆中每两圆的另一条外公切线与三角 形三边对应平行; (2) (1)中所说的三条外公切线共点. (浙江省苍南县江南高级中学 闵 飞 325804) 1658 (1) x , y , zR+,且x + y + z =1,求 9 x3 + 8 y2 + 12 z 的最小值; (2) x , y , z ,R+,且x +2y +3z =1,求27 x + 9 8y2 + 1 27z3 的最小值. (湖南长沙市十五中 厉倩 410007) 1659 三个正数a , b, c ,其和为6,求 1 a( 1 + b) + 1 b( 1 + c) + 1 c( 1 + a) 的最小值.