高中数学备课参考数学通报问题解答9802pdf

数学问题解答 1998年1月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1111已知实数a , b, c, d满足a d, 证明: ( a - b) ( a2+ b2) ( c -d) ( c2+ d2 ) . 证明 a d a -b c -d 又 幂函数y = x3在R上是增函数 a3 d3(1) 且 ( a - b) 3 ( c - d) 3 (2) 由 (1) , 得 a3-b3 c3-d3(3) (2 ) + 2(3),得 3 ( a 3 -a2b + ab2-b3) 3 ( c 3 - c2d + cd2-d3) 于是 ( a - b) ( a2+ b2) m)的圆,BC的延长 线交 O于P, Q,证明:A P2+ AQ2+ PQ2为定 值. 证明 作 ABC的外接圆,则圆心为O,半 径为m. (图 1) (图 2) 情形(1)BC为斜边,则OA = m , OP = n. (图 1) 由三角形中线长公式知: A P2+ AQ2=2 ( OA 2 + OP2 ) = 2m2+2n2. 又PQ2=4n2 A P2+ AQ2+ PQ2=2m2+6n2(定值) 情形(2)BC为直角边,不妨设 B =90. (图 2) 设AB = c, BC = a则c2+ a2=4m2 由相交弦定理知 BPBQ = ( n -m) ( n + m) = n2-m2 又BQ - BP = a(BP = CQ) A P2+ AQ2+ PQ2 = ( AB2+ B P2) + ( AB2+ BQ2) + ( BQ + BP) 2 =2c2+ ( BQ - BP) 2 +2BPBQ + ( BQ - BP) 2 +4BPBQ =2c2+2a2+6 ( n 2 -m2)=8m2+6 ( n 2 -m2) =2m2+6n2(定值) 1113设P是ABC内一点,且 PAB= PBC =PCA =(即勃罗卡角 ) , 如果 B =C,证明: sin= sinA 5-4cosA 证明 如图设PA = x , PB=y , PC =z. 显然PABPBC. AB BC = y z = sinPCB sin . 从而 sinC sinA = sin ( C - ) sin . sinA =sin( B + C) =sin2C, sin=2sin ( C - )cosC =sin2Ccos-2cos2Csin. 于是tg= sin2C 1+2cos2C = sin2C 2+cos2C = sinA 2-cosA . 利用同角三角函数关系可得 84数学通报 1998年 第2期 ctg2= (2-cos A) 2 sin2A , csc2= 5-4cosA sin2 , sin= sinA 5-4cosA . 1114RtABC中,AB为斜边.延长AC到A ,延长BC到B,使AA= BB=AB.设 ABC的内心为I,AB的中点为M.证明:直线 MI与直线AB 垂直. 证明 作IEBC, M FBC,其中E, F是 垂足;作IKM F,K为垂足.直线MI交AB 于H.记BC = a , CA = b, AB = c.易知IE = CE = 1 2 ( a + b - c) , M F = 1 2 b. M K = M F - IE = 1 2 b - 1 2 ( a + b - c) = 1 2 ( c - a) ; IK = EF = CF - CE = 1 2 a - 1 2 ( a + b - c) = 1 2 ( c - b) . M K I K = c -a c -b (1) 又BC = BB- BC = AB - BC = c -a, AC = AA-AC = AB -AC = c -b, BC AC = c -a c -b (2) 由(1) , (2)知: M K IK = BC AC , 故 有RtMIKRtBAC IM K= ABC 即 HM F =HBFH , B, M , F四点共 圆 M HB=M FB=90 M HAB,即MIAB. 1115用 f ( n) 表示与 4 n最接近的整数,n N,求 1998 k =1 1 f ( k) . 解 64199874且74-19981998-64 . f ( 1998 ) = 7 . 给定一个正整数m,用xm表示使f ( n) = m 的最大正整数n.则m 4 xm m + 1 2 .从 而m42ac. (舒绍云 提供) 1119设数列an满足an0 ( n N) , 且 a2-a1a3-a2 an-an-1 , 证明: an成等差数列的充要条件是 a1+ a3+ a2n +1 a2+ a4+ a2n = n +1 n ( n N) (熊昌进 提供) 1120证明:如果 2 x1 x20 ,则 tgx1 x1 tgx2 x2 (贺斌 提供) 更正 牡丹江师范学院数学系张国铭来信指出我刊1996年第3期上的浅谈数学分析教学中的几何直观 文章有误.张国铭提出的意见是正确的.现更正如下: (1)原文例3的证明中“ 当x X,有f ( x) = x x-1 f ( t) dt x x-1 f ( t) dt X +1 ,有0 f ( x) x x-1 f ( t) dt ”. (2)最后一句话“对A 0或A = -,同理可证”改为“若A 0 ,或A = -,则将推出与 + a f ( x) dx收敛矛盾的结果, 只能是lim x+f ( x) = 0”. 数学通报(月刊) SHUXUE TONGBAO 1998年第2期 主 编 刘 绍 学 本期责任编辑 周华桐 编辑出版 数学通报编辑委员会 邮政编码 1