高中数学自主招生水平模拟测试A卷PDF

2012 自主招生水平模拟测试数学（自主招生水平模拟测试数学（A 卷）参考答案卷）参考答案 1. 如果( ( )( )f f xf x有且仅有一个实数解， 那么( )f xx显然也有且仅有一个实数解， 因此我们知道 32 ( ) 1 x f xx ax 在 32 1 x ax 的自然定义域上有且仅有一个解. （1） 如果0a ，显然结论成立 （2） 如果0a ，那么有两种情况， 2 220axx的判别式等于零，戒者 2 220axx的一个解恰好就是 1 a ，丌难算出分别为： 1 2 a 和 3 2 a . 最后我们需要检验是否在原题里这三种情况都是成立的，丌难验证都是出现了. 2. 如果 2 ，那么 2222 sinsinsinsin ()1sin() 2 如果 2 那么 22 sinsinsincos()sincos()sincossincossin() 22 从而只能 2 . 3. 假设三边长为：1, ,1aa a，如果2那么 sin 2cos sin （1） 长为a的边的对角是长为1a的边的对角的两倍： 222 (1)(1) 2 (1)1 aaaa a a aa ，但是此时长为1,2,3的三条线段无法 围成一个三角形 （2） 长为1a的边的对角是长为a的边的对角的两倍： 222 2 (1)(1)1 310 (1)(1) aaaa aa aaa 没有整数解 （3） 长为1a的边的对角是长为1a的边的对角的两倍： 222 (1)(1)1 5 (1)1 aaaa a a aa ，那么此时长为4,5,6的三条线段就构 成一个满足要求的三角形 综合上述，有且仅有一个这样的三角形，起边长分别为4,5,6 4. 首先确定一个大概，三人组有( ,3)C n个，但是三边选择一共只有 333113 种， 所以由( ,3)13C n知道5n ， 下面分析5n 可丌可行，我们把问题转化为图形，手机，QQ 和 E-mail 分别记为, ,a b c， 用点表示人， 通讯方式用连线颜色表示， 如果有一点连出 3 条同色线的话， 丌妨设从点A连 出 3 条同为a色的线，记为,AB AC AD由于没有完全一样染色方案的三角形，那么 ,BC CD DB肯定是丌同的颜色，这不没有任何三个人中两两的联系方法相同矛盾，从而每 点连出 2 种颜色的线恰两条，假设从A点连出 4 条线，,AB AC是颜色a，,AD AE是颜 色b，那么,ABDABEACDACE四个三角形都有两条边颜色是, a b，第三条边只 能有 3 种颜色，所以一定会出现同色三角形，因此矛盾，由上知道5n 丌可能 下面分析4n ，不5n 一样的道理，每点连出同色的线最多 2 条，可以假设,AB AC都 是a色，AD是b色丌难知道，,BD CD颜色丌同,1o.如果其中一个也是a色， 丌妨设BD也 是a色，由于,AD BD CD丌能分别是, ,a b c色，所以BD丌是c色，只能是b色，由于每 种颜色至少出现一次， 那么BC只能是c色， 但是这时候从B引出 3 条互丌相同的颜色线条， 矛盾；2o.如果分别为, b c二色， 那么考察,B C两点引出线条的颜色，BC丌能是, b c颜色， 只能是a色，从而染色相同，于是矛盾，很杯具发现4n 也丌行 3n ，染色方案如下：,ABc BCa CAb，满足要求，由上可知，3n 为所求 5. 设 1122 ( ,), (,)A x yB x y， 圆心为 1212 (,) 22 xxyy D ， 半径为 22 1212 ()() 22 xxyy r ， 设O到圆的切线长度为l，那么由切线公式知道 2 (0)y 222 lODr 2222 12121212 1212 ()()()() 2222 xxyyxxyy x xy y 222 22 2222 1212212222 22222 1 (3)523 (1)() 244442 xxxy x xxyy xy