江苏赣马高级中学高三数学导数的概念与运算复习学案003

江苏省赣马高级中学高三数学导数的概念与运算复习学案003一复习目标： 1了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念 二教学过程：（）基础知识详析1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4曲线的切线 在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如图31中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线5瞬时速度 在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度6边际成本设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：.当趋向于0时，的极限是300.我们把的极限300叫做当q50时的边际成本.经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A7、导数的定义 导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x是自变量x在 处的增量(或改变量)(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)反之不一定成立例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：1)求函数的增量； 2)求平均变化率；3)取极限，得导数。（4）多顶式函数的导数求导法则：（1）（2） （nN*）（3）; 8导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为（）典型例题例1：求下列函数的导数：（）y=3x2-12 ( 2 )y=(2x2-1)(3x+1) （ 3 ）y=(1-x)n例2： (1)求函数在点（，）处切线的方程(2)在抛物线y=x2+x-1上取横坐标为1, 3的两点，过这两点引割线，在抛物线上哪一点处的切线平行于所引的割线？思维点拨： 在函数中，若曲线有切线，则此函数导数的几何意义即为切线的斜率例3、已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。 （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线与的夹角。 说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。理解导数的几何意义是解决本例的关键。例4、已知曲线=，在它对应于0，2的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在轴上的截距为最小，并求出这个最小值。三、强化训练1设函数f(x)在处可导，则等于 （ ） A B C D2若，则等于 （ ）A B C3 D23若曲线与轴相切，则之间的关系满足（） 4、曲线上切线平行于x轴的点的坐标是 （ ） A（-1，2） B（1，-2） C（1，2） D（-1，2）或（1，-2）5.设对于任意的，都有，则 （ ） 6一直线运动的物体，从时间t到t+t时，物体的位移为s，那么为（ ） A从时间t到t+t时，物体的平均速度 B时间t时该物体的瞬时速度 C当时间为t 时该物体的速度 D从时间t到t+t时位移的平均变化率7一物体运动方程是，则时物体的瞬时速度为 8 对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为 （ ）A B C D9设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为（ B ）A B C D10（2005年重庆卷）曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= .11已知抛物线C1：y=x2+2x和：y=x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.（）函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是y(x+2x1)=(2x1+2)(xx1),即 y=(2x1+2)xx 函数y=x2+a的导数y=2x, 曲线C2 在点Q（x2,x+a）的切线方程是y(x+a)=2x2(xx2). y=2x2x+x+a . 如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程， x1+1=x2,所以 x=x+a.消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.若判别式=442（1+a）=0时，即a=时解得x1=，此时点P与Q重合.即当a=时C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 y=x . （）由（）可知.当a时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）. 其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=1, y1+y2=x+2x1+(x+a)= x+2x1(x1+1)2+a=1+a . 线段PQ的中点为 同理，另一条公切线段PQ的中点也是所以公切线段PQ和PQ互相平分. 江苏省赣马高级中学高三数学导数的概念与运算作业003班级 姓名 评语 设在处可导，且，则等于 （ ）1 设生产个单位产品的总成本函数是，则生产8个单位产品时，边际成本是（A） A2B8C10 D16曲线在处的切线的倾斜角是（ C ）ABCD已知定义在区间上, 且, 设且.(1)求证: (2)若, 求证: .解: (1)设, 因为,(1分)所以过点A的切线方程为(2分)令, 则, B点坐标为.(3分)又, 消去a, 得(6分)(2)设C到l的距离为d, 则(8分)设, 则为t的增函数(10分)(11分)故C到l的最短距离为, 此时l的方程为(12分)欣赏题已知为正整数.（）设； （）设分析：本题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。证明：（）因为，所以 （）对函数求导数: 即对任意（2005年北京卷理）已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7(2005年湖北卷理)已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)。若函数=ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。解法一：依定义。则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0。0在（-1，1）上恒成立。考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即t5。而当t5时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是t5。解法二：依定义，。若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0。的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是t5。（2005年江苏卷）已知，函数。（）当时，求使成立的x的集合；（）求函数在区间1，2上的最小值