河南新乡一中、鹤壁高中、开封高中、安阳一中高三数学尖子生联赛文

河南省新乡一中、鹤壁高中、开封高中、安阳一中2017届高三数学1月尖子生联赛试题 文（扫描版）安鹤新开四校20162017学年尖子生联赛高三数学（文科）试题一、选择 D A B C D B D B D D C C二、填空 13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 解：（1）在中，由正弦定理得：，解得，则或， 是锐角三角形，又由，则（2）由于，面积为，则，解得再由余弦定理得到，故，又由，故边的长为18.解：（1）由题意得：n=，=b=0.00750.01250.01500.0450=0.020此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为：550.012510+650.02010+750.045010+850.015010+950.007510=73.5（2）由题意得厨霸有0.01501040=6人，分别记为： 厨神有0.00751040=3人，分别记为： 从中任取2 人，基本事件总数n=36（列举略）所取2人中至少有1人是厨神的情况是21人都是厨霸，所取2人总至少有1人是厨神的概率p=19. 解：(1)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又ACBD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD平面PAC.而PC平面PAC，所以BDPC.（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO，在RtPOD中，由DPO30，得PD2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以AOD，BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为ADBC(42)3， 梯形ABCD的面积S(42)39.在等腰直角三角形AOD中，ODAD2，所以PD2OD4，PA 4.故四棱锥PABCD的体积为VSPA9412.20. 解：（1）设P ，由|= 可知 又 ，(cm,n)(cm,n)= ，即 代入得：c=1。又e=，可得=2，=1，故所求椭圆方程为.（2）设直线l:y=kx，代入，消y得 成立. A，B ，则 若y轴上存在定点M(0,m)满足题设，则 + ,即 由题意知，对任意实数k都有恒成立，即18(1)+(9+6m15)=0对kR成立.所以1=0且9+6m15=0，解得m=1，所以在y轴上存在定点M(0,1)，使以AB为直径的圆恒过这个定点.21. 解：(1)函数f(x)的导数为f(x)=a+x+b，直线y1=0的斜率为0,且过点(0,1)，f(0)=1且f(0)=0,即a=1且a+b=0，解得a=1，b=1.f(x)的解析式为f(x)=+x，f(x)=+x1，当x0时,f(x)=+x10时,f(x)=+x10，此时函数单调递增，即函数的增区间为(0,+),减区间为(,0).(2)(xm)(f(x)x1)+2x+1=(xm)(2)+2x+1，故当xln2时,(xm)(f(x)x1)+2x+10,等价于,mln2)，令g(x)= (xln2)，则g(x)= 令h(x)= 2x3,则h(x)= 2，xln2,h(x)= 20，即h(x)在(ln2,+)上存在唯一的零点，故g(x)在(ln2,+)上存在唯一的零点，设此零点为,则(1,2)，当x(ln2,)时,g(x)0，故g(x)在(ln2,+)上的最小值为g(a)，由g()=0,可得=2+3，g()=+1(2,3)，由于等价于mg()，故m的最大值是2.22. 解：（1）圆C的方程为（x3）2+（y+4）2=4，参数方程为（为参数）；将圆方程展开可得x2+y26x+8y+21=0，故极坐标方程为26cos+8sin+21=0；（2）A（2，0），B（0，2），AB的方程为xy+2=0F（3+2cos，4+2sin）到直线AB的距离d=，SABF=|2cos2sin+9|=|2sin（45）+9|，ABF的面积的最大值为2+923. 解：（1）x2时：f（x）=x2x1=31，成立，1x2时：f（x）=2xx1=12x1，解得：0x2，x1时：