“超级全能生”2019浙江省9月联考(数学)-解析版

“超级全能生”2019高考选考科目浙江省9月联考（数学）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1. 已知集合A=xx2，B=xx3，则(CRB)A= ( )A. (2,3)B. (2,3C. (-,2)D. 3,+)【答案】A本题主要考查交集和补集的运算由题意可得，CRB=x|x3，进而可求出(CRB)A解：B=xx3，CRB=x|x2，(CRB)A=x|2x0和x0时，故x+1+x-10，从而lnx+1+x-10，所以ln(|x+1|+|x-1|)x0，即y0，排除C、D；当x0，从而lnx+1+x-10，所以ln(|x+1|+|x-1|)x0，即y0，排除B；故A正确故选A7. 已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中b=a+c，若对任意的实数b，c都有不等式f(b2+c2)f(2bc)成立，则方程f(x)=0的根的可能性为 ( )A. 有一个实数根B. 两个不相等的实数根C. 至少一个负实数根D. 没有正实数根【答案】C本题主要考查方程根的判别问题，利用条件b=a+c有f-1=0，结合判别式即可得出结果解：b=a+c，f-1=0，=b2-4ac=a-c20，方程f(x)=0至少一个负实数根故选C8. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若ae=1，be=2，ab=3，则a+b的最小值是 ()A. 3B. 13C. 19D. 6【答案】B本体的难点是通过设向量的坐标，转换成均值不等式求最值解：设e=(1,0),a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则由ae=1，得x1=1，由be=2，得x2=2，由ab=x1x2+y1y2=3，y1y2=1，所以|a+b|=a+b2=x1+x22+y1+y22=11+y12+y2211+2y1y2=13故选B9. 如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=4，E，F分别为AD，AB中点，M为线段BC上的一个动点，现将DEC，AEF，分别沿EC，EF折起，使A，D重合于点P.设PM与平面BCEF所成角为，二面角P-EF-C的平面角为，二面角P-EC-F的平面角为，则 () A. B. C. D. 【答案】D本题主要考查空间中角的计算问题，本题可用极端值处理，当M在BC中点时，易求得答案解：当M在BC中点时，易知，故选D10. 已知数列an满足a1=2，an+1=12an+1an(nN*)，设bn=an-1an+1，则b100=( )A. 3-198B. 3-298C. 3-299D. 3-2100【答案】C本题考查了等比数列的判定与通项公式，属于中档题，构造等比数列是解答本题的关键解：an+1=12an+1an=an2+12an,且bn=an-1an+1，bn+1=an+1-1an+1+1=an2+12an-1an2+12an+1=an-12an+12=bn2，即bn+1=bn2，取两边对数得：lgbn+1=2lgbn，lgbn+1lgbn=2，则数列lgbn是以lgb1为首项，以2为公比的等比数列，lgb1=lg13，lgbn=2n-1lg13，则bn=3-2n-1，b100=3-299，故选C二、填空题（本大题共7小题，共35分）11. 复数z=13-4i3(i是虚数单位)的实部为_，z=_【答案】325；15本题考查了复数的四则运算，复数的概念和复数的模利用复数的四则运算得z=3-4i25，再利用复数的概念和复数的模计算得结论解：因为复数z=13-4i3=13+4i=3-4i25(i是虚数单位)，所以z的实部为325，z=15故答案为325；1512. 在ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，若SABC=22，b=3，tanC=22，则c=_，sin2AsinC=_【答案】3 2827解：因为tanC=22，所以sinC=223，cosC=13，又因为SABC=22，则123a223=22，所以a=2，所以c2=9+4-23213=9，则c=3，所以2sinA=3223，所以.，cosA=79，所以sin2AsinC=2accosA=2827故答案为3，282713. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数y=f(x)满足如下条件：(1)在闭区间a,b上是连续不断的；(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)，其中称为拉格朗日中值.则g(x)=ex在区间0,1上的拉格朗日中值=_【答案】ln(e-1)本题以拉格朗日中值定理为背景，考查了导数的运算，以及考查了理解能力，是一道容易题解：(1)在闭区间a,b上是连续不断的；(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数，使得fb-fa=fb-a，化为则gx=ex，e=g1-g01-0=e-1，解得=lne-1故答案为ln(e-1)14. 若实数x，y满足x0,x-y0,x+y-30,则yx+1的最大值为_，若方程2x+y+a=0有解，则实数a的取值范围为_【答案】3;-92a0本题考查简单线性规划，画出可行域，利用斜率求解yx+1的最大值，然后求出2x+y的范围即可求解解：画出可行域如下图，yx+1表示可行域内的点与点(-1,0)连线的斜率，由图知最大值为AB的斜率kAB=3-00-(-1)=3，因为方程2x+y+a=0有解，所以方程-a=2x+y有解，令z=2x+y，则y=-2x+z，即z为斜率为-2的直线在y轴上的截距，由图知当直线过(0,0)时，z最小，过C时最大，由x-y=0,x+y-3=0，解得C(32,32)，所以z的最小值为0，最大值为92，所以0-a92，即-92a0故答案为3;-92a015. 随机变量X的分布列为X -3 -1 1 3 P a b c d 其中a，b，c，d成等差数列(aD(x)209故答案为(209,5).16. 已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x-y的最大值是_【答案】2本题考查了基本不等式的性质，利用基本不等式的性质即可得出.属于基础题解：x2+y2+xy=1，(x-y)2=1-3xy1+3(x-y2)2，当且仅当x=-y时取等号，化为(x-y)24，x-y2，x-y的最大值为2故答案为217. 已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=2，椭圆:x22+y2=1，过原点O的射线l与分别与圆C、椭圆交于M，N两点，点M不同于点O，则OMON的最大值是_【答案】23本题主要考查直线与椭圆，圆的位置关系，以及圆锥曲线中的最值.建立方程组求出点M，N的坐标，即可解：依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx(x0,k0)，设N(x1,kx1)，M(x2,kx2)直线代入椭圆方程得：(1+2k2)x2=2，x2=21+2k2由直线代入圆的方程得：(1+k2)x2-(2+2k)x=0，x1=2+2k1+k2，OMON=1+k2x121+k2x22=41+k21+k21+k221+2k2=221+k21+2k2y因为k0，令hk=1+k21+2k2，则，令，解得k=-1(舍)或k=12，所以当k=12，有最小值，最小值h12=32，所以OMONmin=2232=23，故答案为23三、解答题（本大题共5小题，共55分）18. 已知函数f(x)=sinxcosx-32sinx+32cos2x，xR(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(II)若为锐角且fa+12=-79，满足cos(-)=35，求sin【答案】解：(I)f(x)=sinxcosx-32sin2x+32cos2x=12sin2x+32cos2x=sin(2x+3)所以f(x)的最小正周期T=，令2k-22x+32+2k，kZ，解得k-512x12+k，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为k-512,12+k，kZ(II)由(I)得f(+12)=sin(2+2)=cos2=-79，因为为锐角，所以cos=13，sin=223，又因为cos(-)=35，所以sin(-)=45，所以sin=sin-(-)=62415【解析】本题考查三角函数的基础知识，以及基本的运算能力(1)化简可得f(x)=sin(2x+3)，易得函数的最小正周期，解不等式2k-22x+32+2k可得函数的单调递增区间；(2)利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式，求得sin的值19. 如图，在四棱锥A-BCDE中，ABC是边长为4的正三角形，BE/CD且BE=2CD，CD=3，AE=2，BEAD，M为AB中点 (I)证明：CM/平面ADE；(II)求直线CA与平面BCDE所成角的正弦值【答案】解：(I)证明：取AE的中点F，连接MF，FD，因为点M为AB的中点，所以MF/BE，且MF=12BE， 又因为BE/CD且BE=2CD，所以MF/CD，MF=CD， 所以四边形MFDC为平行四边形，所以MC/FD，又因为FD平面ADE，所以CM/平面ADE. (II)解：因为AB=4，BE=2CD=23，AE=2，所以BE2+AE2=AB2，所以AEBE，又BEAD，ADAE=A，所以BE平面ADE， 又BE平面CDEB，所以平面ADE平面CDEB，作AHDE，因为平面ADE平面CDEB=DE，所以AH平面CDEB，连接CH，所以ACH为直线CA与平面BCDE所成的角. 因为BE平面ADE，所以BEDE，在直角梯形BCDE中，DE=13，因为BEAD，所以CDAD，在直角三角形ACD中，AD=13，又DF=MC=23，在ADE中，易求得AH=43913， 所以sinACH=AHAC=3913，所以直线CA与平面BCDE所成角的正弦值为3913【解析】本道试题主要是考查了直线与平面平行的判断和直线与平面所成的角(I)证明：取AE的中点F，连接MF，FD，通过证明四边形MFDC为平行四边形，可以证明CM/平面ADE；(II)作AHDE，可以证明ACH为直线CA与平面BCDE所成的角20. 已知数列an的前n项和为Sn=nan-n(n-1)且a2=3.数列bn为非负的等比数列，且满足a1b3=4，b2b7=16b4(I)求数列an，bn的通项公式；(II)若数列bn的前n项和为Cn，求数列nCn的前n项和Tn【答案】解：(I)当n=2时，S2=2a2-2，又因为S2=a1+a2，a2=3，所以a1=1，Sn=nan-nn-1，则当n2时，Sn-1=n-1an-1-n-1n-2，-得an-an-1=2，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，所以an=2n-1，因为a1b3=3，所以b3=4，因为b2b7=b4b5，bn0，b2b7=16b4，所以b5=16，所以q2=b5b3=4，又q0，所以q=2，所以bn=b3qn-3=2n-1；(II)由(I)得Cn=1-2n1-2=2n-1，所以nCn=n2n-n，设A=12+222+n2n，所以2A=122+223+n2n+1，两式相减得A=(n-1)2n+1+2，设B=1+2+n=n(n+1)2，所以Tn=A-B=(n-1)2n+1+2-n(n+1)2.【解析】本题主要考查了数列的综合应用，此题用到由Sn与an的关系求通项，等比数列及其利用错位相减法求和21. 已知椭圆x22+y2m=1的一个焦点为F(0,-1)，曲线C上任意一点到F的距离等于该点到直线y=-3的距离(I)求m及曲线C的方程；(II)若直线l与椭圆只有一个交点P，与曲线C交于A，B两点，求SFAPSFBP-AFBF的值【答案】解：(I)由F(0,-1)知该椭圆的焦点在y轴上，所以m-2=1，解得m=3，设M(x,y)为曲线C上任意一点，由题意得x2+(y+1)2=(y+3)2，化简得x2=4(y+2)，所以曲线C的方程为x2=4(y+2). (II)设直线l的方程为y=kx+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=kx+b3x2+2y2=6 得(3+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0，因为直线l与椭圆只有一个交点P，所以=48k2-24b2+72=0所以b2=2k2+3，且xP=-2kb3+2k2=-2kb，yP=kxP+b=3b， 由y=kx+b,x2=4(y+2), 得y2-(2b+4k2)y+b2-8k2=0，所以y1+y2=2b+4k2=2b2+2b-6,y1y2=b2-8k2=12-3b2 由曲线C的定义知AF=y1+3，BF=y2+3，所以，将代入分子yp-y1y2+3-y2-ypy1+3=-2y1y2+yp-3y1+y2+6yp=-212-3b2+3b-32b2+2b-6+63b=0，所以SFAPSFBP-|AF|BF|=0.【解析】本题(1)考查了求椭圆的方程，注意判断焦点所在的位置，以及利用直接法求曲线方程问题.(2)主要考查了直线和椭圆，抛物线相交问题，利用联立方程组后韦达定理以及根与系数的来关系解决22. 已知函数f(x)=lnx+1x-b(I)若在曲线y=f(x)上的一点P的切线方程为x轴，求此时b的值；(II)若f(x)ax恒成立，求a+2b的取值范围【答案】解：，因为f(x)在点P处的切线为x轴，所以令，解得x=1，所以f(1)=0，得b=1(II)设g(x)=lnx+1x-ax-b，则，当a=