高二文科期末 考试

- 1 - 广东实验中学 20172018 学年（上）高二级模块期末考试 文科数学 本试卷分第一部分和第二两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。 第一部分（共 100 分） 一、 选择题：选择题：本大题共本大题共 1 12 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6 60 0 分在每小题给出的四分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的 1）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公 司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调 查为； 在丙地区中有 20 个特大型销售点， 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况， 记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法 C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法 剖析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个 体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样. 依据题意，第项调查应采用分层抽样法、第项调查应采用简单随机抽样法.故选 B. 答案：B 2 2） “a1”是“直线 xy0 和直线 xay0 互相垂直”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 当 a1 时，直线 xy0 与直线 xay0 互相垂直答案 C 3已知样本方差由 10 22 1 1 (5) 10 i i sx ，求得，则 1210 xxx（ C ） A 100 B 75 C 50 D 25 4）若抛物线 y22px(p0)的焦点与双曲线x 2 12 y2 41 的右焦点重合，则 p 的值为 ( ) - 2 - A2 B4 C8 D4 2 解析 由 y22px(p0)得抛物线焦点坐标为(p 2， 0)， 而双曲线 x2 12 y2 41 的右焦点为(4,0)， p 24 p8. 答案 C 5）下列四个结论： 若pq是真命题，则p可能是真命题； 命题“ 2 000 ,10 xR xx ”的否定是“01, 2 xxRx” ； “5a 且5b ”是“0ab”的充要条件； 当0a 时，幂函数yx在区间(0,)上单调递减. 其中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】错，对，错，对，选 D. 6)在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 顶点 A(4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆x 2 25 y2 9 1 上，则sinAsinC sinB _. A5/6 B. 3/4 C.5/4 D. 1/2 解析 C 由已知，在ABC 中，AC8，ABBC10 根据正弦定理有sinAsinC sinB BCAB AC 5 4. 答案 5 4 7.过椭圆 4x2+9y2=36 内一点 P(1,0)引动弦 AB,则 AB 的中点 M 的轨迹方程是( A) A.4x2+9y2-4x=0 B.4x2+9y2+4x=0 C.4x2+9y2-4y=0 D.4x2+9y2+4y=0 8）函数 2 2 x yxe在区间2,2的图像大致为( D ) - 3 - （9）执行右面的程序框图，如图输入的0,1,1xyn， 则输出, x y的值满足( C ) （A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx 10)过抛物线 2( 0)yax a的焦点F作一直线交抛物线于,P Q两点，若线段PF与 FQ的长分别是, p q，则 11 pq 等于 （ ） ( )A2a ( )B 1 2a ( )C4a ( )D 4 a （11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点，A，B 分别为 C 的 左，右顶点.P 为 C 上一点，且PFx轴.过点 A 的直线 l 与线段PF交于点 M，与 y 轴 交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ） （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【答案】A【解析】试题分析：由题意设直线l的方程为()yk xa，分别令xc 与0 x 得点|()FMk ac，|OEka，由OBECBM，得 1 | | 2 | OE OB FMBC ，即 2 (c) kaa k aac ，整理，得 1 3 c a ，所以椭圆离心率为 1 3 e ，故选 A - 4 - 12函数)(xf（0x）的导函数为)( / xf，若 x exfxxf)()( / ，且ef) 1 (，则（A） A)(xf的最小值为e B)(xf的最大值为e C)(xf的最小值为 e 1 D)(xf的最大值为 e 1 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13）设p：3|ax，q：0) 12)(1(xx，若p是q的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是 答案：) , 2 7 4 , ( 14把容量为 100 的某个样本数据分为 10 组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率 为 0.79，而剩下三组的频数成公比大于 2 的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的 频数为_. 剖析：已知前七组的累积频率为 0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的 频率之和为 10.79=0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算 后三组的共有频数. 由已知知前七组的累积频数为 0.79100=79，故后三组共有的频数为 21，依题意 q qa 1 )1 ( 3 1 =21，a1（1+q+q2）=21.a1=1，q=4.后三组频数最高的一组的频数为 16. 答案：16 15若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐进线方程为xy3，且过点（-2，1） ，则双 曲线的方程是_359 22 YX_ 16与直线 2xy40 平行的抛物线 yx2的切线方程是_ 解析 由题知，设切点坐标为(x0，y0)切线斜率为 2(x20)2x0 x01 切线过(1,1)点 故所求的切线方程为 y12(x1)即 2xy10. 答案 2xy10 三.解答题（本大题共四题共 40 分，请在答题卷上写出必要的步骤） 1 17 7已知 cos(x 4) 2 10，x( 2， 3 4 ) (1)求 sinx 的值； (2)求 sin(2x 3)的值 - 5 - 解 (1)解法一：因为 x( 2， 3 4 )， 所以 x 4( 4， 2)， 于是 sin(x 4) 1cos2(x 4) 7 2 10 . sinxsin(x 4) 4 sin(x 4)cos 4cos(x 4)sin 4 7 2 10 2 2 2 10 2 2 4 5. 解法二：由题设得 2 2 cos x 2 2 sin x 2 10， 即 cosxsinx1 5. 又 sin2xcos2x1， 从而 25sin2x5sinx120， 解得 sinx4 5或 sinx 3 5. 因为 x( 2， 3 4 )，所以 sinx4 5. (2)因为 x( 2， 3 4 )， 故 cosx 1sin2x 1(4 5) 23 5. sin2x2sinxcosx24 25， cos2x2cos2x1 7 25 所以 sin(2x 3)sin2xcos 3cos2xsin 3 247 3 50 . 18）一汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的 产量如下表(单位：辆)： 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z - 6 - 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆 (1)求 z 的值 (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本将该样本看成一个总体， 从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率 (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下： 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2 把这 8 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数 与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率 解 (1)设该厂本月生产轿车为 n 辆，由题意得，50 n 10 100300，所以 n2000，z2000 100300150450600400. (2)设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量 为 5 的样本，所以 400 1000 m 5，解得 m2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车，分 别记作 S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)， (S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)共 10 个，其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)， (S2，B3)，(S1，S2)，所以从中任取 2 辆，至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 7 10. (3)样本的平均数为 x 1 8(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9， 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4，8.6,9.2,8.7,9.3,9.0 这 6 个数，总的 个数为 8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为6 80.75. 19）如图， 111 ABCABC是底面边长为2，高为 3 2 的正三棱柱，经过AB的截面与 上底面相交于PQ， 设 111(0 1)C PC A. （）证明： 11 / /PQAB； （）当 1 2 时，求点C到平面APQB的距离. （）证明： 111 ABCABC 是正三棱柱， 平面ABC/平面 111 ABC2 分 平面APQB平面 111 ABC=PQ，平面APQB平面ABC=AB / /PQAB 4 分 11 / /ABAB， 11 / /PQAB6 分 - 7 - （）连结PB，点C到平面APQB的距离等于三棱锥CAPB-的高， 设其值为d 7 分 当 1 2 时， 1 / /1 2 PQAB ，四边形APQB是等腰梯形，经计算得梯形的高为 6 2 8 分 166 2 222 PBA S ， 2 3 23 4 ABC S 9 分 111 ABCABC 是正三棱柱， 1 11 33 C PBAPBAP ABCABC VSdVSAA 10 分 得到 636 3, 222 dd11 分 所以点C到平面APB的距离为 6 2 .12 分 2 20 0. . 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0， 3)，(0， 3)的距离之和等于 4，设 点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程； (2)设直线 ykx1 与 C 交于 A、B 两点k 为何值时OA OB ？此时|AB |的值是多少？ 解 (1)设 P(x，y)，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0， 3)，(0， 3)为焦点， 长半轴长为 2 的椭圆它的短半轴长 b22( 3)21，故曲线 C 的方程为 x2y 2 41. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 x2y 2 41， ykx1 消去 y 并整理得(k24)x22kx3 0， 故 x1x2 2k k24，x1x2 3 k24.OA OB ，即 x1x2y1y20. 而 y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是 x1x2y1y2 3 k24 3k2 k24 2k2 k241 4k21 k24 . 所以 k 1 2时，x1x2y1y20，故OA OB .当 k 1 2时， x1x2 4 17，x1x2 12 17. |AB | (x2x1)2(y2y1)2 - 8 - (1k2)(x2x1)2， 而(x2x1)2(x2x1)24x1x2 42 1724 43 17 4 313 172 ，所以|AB | 5 4 4313 172 4 65 17 . 21）已知函数 2 ( )ln (0)f xxaxx a. （）讨论)(xf的单调性； （）若)(xf有两个极值点 21,x x，证明：2ln23)()( 21 xfxf. （）函数)(xf的定义域为), 0( . 1 分 2 121 ( )1 2 axx fxax xx . 2 分 0a ，方程 2 210axx 的判别式1 8a . 当 1 8 a 时，0，0)( x f，故函数)(xf在), 0( 上递减 3 分 当 1 0 8 a时，0 ，由0)( x f可得 1 11 8 4 a x a ， 2 11 8 4 a x a .4 分 x 1 (0,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx 0 0 ( )f x 极小值 极大值 函数)(xf的减区间为),(), 0( 21 xx；增区间为),( 21 xx . 5 分 所以，当 1 8 a 时，)(xf在), 0( 上递减； 当 1 0 8 a时，)(xf在 11 811 8 (,) 44 aa aa 上递增，在 11 8 (0,) 4 a a ， 11 8 (,) 4 a a 上递减.6 分 （）由（）知当 1 0 8 a时，函数)(xf有两个极值点 21,x x，且 a xx a xx 2 1 , 2 1 2121 7 分 22 12111222 ( )()lnlnf xf xxaxxxaxx