高中数学备课参考数学通报问题解答0303pdf

数学问题解答 2003年2月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1416 RtABC中,AB = AC,BAC =90, D、E 为BC边上的两点,ADE的外接圆分别交边AB、 AC于点P和Q ,且BP + CQ = PQ ,求 DAE的 度数. (安徽省南陵县第二中学 金旗 242400) 图1 引理 如图1,梯形 ABCD中, ADBC, E、F分 别为AB、CD上两点,且AE = BE, EF = 1 2 (AD + BC) , 则有EFBC. (该引理较易证明,略) 解 如图2,过P点作 PFAB , PF交BC于F点,取PQ的中点O ,连结 OE, PE. 图2 因为AB= AC,BAC =90. 所以 B =45, PQ为 ADE外接圆的直径. 因为PFAB , 所以PF = PB. 因为PB + CQ = PQ , 所以PF + CQ =2EO即 EO = 1 2 ( PF + CQ) , 因为ACPF, OP = OQ , 所以由引理可得:OEAC, 所以OEAP, 因为O为 ADE外接圆的圆心, 所以由垂径定理得:AQE = PDE 所以 EAP =EPA. 因为 EPA =B +1=45+1, 所以 EAD +2=45+1. 因为 1=2, 所以 EAD =45. 1417 设nN + ,试证: ( C 0 2n) 2 - ( C12n) 2 + ( C22n) 2 -+ ( C2 n 2n) 2 = ( -1) nCn 2n. (浙江湖州市双林中学 李建潮 313012) 证明 考察(1- x2) 2n = ( 1 + x) 2n(1 - x) 2n 的展开式中x2 n 的系数:左边展开式中x2 n 的系数 是 ( - 1) nCn 2n;右边展开式的通项是C p 2nx p Cq2n ( - x) q = ( -1) qCp 2nC q 2nx p+q(0 p , q2n) .要得到 展开式中x2 n 的系数,当且仅当p + q =2 n( 这时 Cp2n= Cq2n ) , 由此得到右边展开式中x2 n 的系数: ( C 0 2n) 2 - ( C12n) 2 + ( C22n) 2 -+ ( C2 n 2n) 2. 由两个多 项式相等的条件,得 ( C 0 2n) 2 - ( C12n) 2 + ( C22n) 2 -+ ( C2 n 2n) 2 = ( -1) nCn 2n. 1418 设x21+ x22+ x2n= a2, a2 1 3 . 安徽全椒襄河中学 张维进 239500) 742003年 第3期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 证明 tg0.5(tg0.5+tg1.5+tg2.5+tg59.5) = sin0.5sin0.5 cos0.5cos0.5 + sin0.5sin1.5 cos0.5cos1.5 + sin0.5sin59.5 cos0.5cos59.5 = cos0-cos1 cos0+cos1 + cos1-cos2 cos1+cos2 + cos59 -cos60 cos59+cos60 = (cos0-cos1) 2 cos20-cos21 + (cos1-cos2) 2 cos21-cos22 + (cos59-cos60) 2 cos259-cos260 = (cos0-cos1) 2 cos20-cos21 + (cos1-cos2) 2 cos21-cos22 + (cos59 -cos60) 2 cos259-cos260 (cos20-cos21) + (cos21-cos22 ) + + ( cos259-cos260 ) / cos20-cos260 再由柯西不等式 n i =1 ai n i =1 bi n i =1 aibi 2 , ai0, bi0( i =1,2, n) 得 tg0.5(tg0.5+tg1.5+tg2.5+tg59.5) 1 cos20-cos260 (cos0-cos1) + ( cos1- cos2 ) + + ( cos59-cos60) 2 = (cos0-cos60) 2 cos20-cos260 = cos0-cos60 cos0+cos60 = 1- 1 2 1+ 1 2 = 1 3 1420 若ai ,1, ai ,2R + 0 ,且 ai ,1+ ai+1,2=1( i =1,2, n , an+1,2= a1,2 ) , 求证: n i =1 ai ,1ai ,2 n 2 ,其中,x 表示不 超过实数x的最大整数) (江 苏 如 皋 市 教 师 进 修 学 校 徐 道 226500) 解 若n为偶数,可设n =2m , m为不小于 1的自然数,则 n i =1 ai ,1ai ,2-n 2 = 2m i =1 ai ,1ai ,2-m = 2m i =1 ai ,1ai ,2- m j =1 ( a 2j-1,1+ a2j,2) = m i =1 ( a 2i-1,1a2i-1,2+ a2i ,1a2i ,2- m j =1 (a 2j-1,1+ a2j,2) = m i =1 a2i-1,1 ( a 2i-1,2-1 ) + m j =1 a2j,2 ( a 2j ,1-1) 0 所以 n i =1 ai ,1ai ,2n 2 . 若n为奇数,可设n =2m +1, m为不小于1 的自然数. 1 当a2m+1,2a1,1时, n i =1 ai ,1ai ,2-n 2 = 2m+1 i =1 ai ,1ai ,2-m = m i =1 ( a 2i-1,1a2i-1,2+ a2i ,1a2i ,2 ) + a2m+1,1a2m+1,2- m i =1 ( a 2i-1,1+ a2i ,2) = m i =1 a2i-1,1 ( a 2i-1,2-1 ) + m i =1 a2i ,2 ( a 2i ,1-1) + a2m+1,1a2m+1,2 = -a1,1a2m+1,1+ m i =2 a2i-1,1 ( a 2i-1,2-1 ) + m i =1 a2i ,2 ( a 2i ,1-1) + a2m+1,1a2m+1,2 = a2m+1,1 ( a 2m+1,2- a1,1 ) + m i =2 a2i-1,1 ( a 2i-1,2-1) + m i =1 a2i ,2 ( a 2i ,1-1) 0 2 当a2m+1,2 a1,1时, n i =1 ai ,1ai ,2-n 2 = 2m+1 i =1 ai ,1ai ,2-m = ( a2m+1,1a2m+1,2+ a1,1a1,2 ) + m-1 i =1 ( a 2i ,1a2i ,2+ a2i+1,1a2i+1,2)+a2m ,1a2m ,2- m-1 i =1 ( a 2i ,1+ a2i+1,2 ) - a2m ,1-a2m+1,2 =a2m+1,2 ( a 2m+1,1- 1)+ a2m ,1 ( a 2m ,2- 1)+ a1,1a1,2+ m-1 i =1 a2i ,1 ( a 2i ,2,-1 ) + m-1 i =1 a2i+1,2 ( a 2i+1,1 842003年 第3期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. -1) = -a2m+1,2a1,2+ a1,1a1,2+ m i =1 a2i ,1 ( a 2i ,2-1 ) + m-1 i =1 a2i+1,2 ( a 2i+1,1-1) = a1,2 ( a 1,1- a2m+1,2 ) + m i =1 a2i ,1 ( a 2i ,2-1 ) + m-1 i =1 a2i+1,2 ( a 2i+1,1-1 ) 0 所以 n i =1 ai ,1ai ,2 n 2 2003年3月号问题(来稿请注明出处 编者) 1421 锐角 ABC中,求证:cos(A - B)cos ( B - C) cos( C - A)8cosAcosBcosC (安 徽 省 南 陵 县 工 山 二 中 邹 守 文 242418) 1422 锐角 ABC中,外接圆半径R =1,A , B ,C的对边长分别为a , b , c.求证 a 1-sinA + b 1-sinB + c 1-sinC 18+12 3 (深圳大学附中 王扬 518054) 1423 如图,正 DEF的三 个顶点分别在以AB为斜边 的等腰直角三角形ABC的 三边上,ABC的三个顶点 分别在正 GHI的三边上, 且所有顶点都不重合.设 ABC的面积为S ,DEF 面积的最小值为S1,GHI面积的最大值为S2,求 证:S2= S1S2 (江苏盐城师院附中 曹大方 224002) 1424 若(1+ x + x2+ x2001) 2002 的展开式为 a0+ a1x + a2x2+ a4006002x4006002, 求a0+ a2002+ a22002+ a32002+ a20012002的 值. (云南曲靖一中 张国坤 梅榆 655000) 1425 证明:在简单多面体中,至少有一个三角形 的面或一个发出三条棱的顶点,并且三角形面数 与发出三条棱的顶点数之和至少等于8. (山 东 省 汶 上 县 第 一 中 学 张 宪 铸 272500) (上接21页) 猜想(1)代入条件sinA = sinB +sinC cosB +cosC 中得 sinA =tgB =tgC不恒成立; 猜想(2)代入条件sinA = sinB +sinC cosB +cosC 中得 sin90= sinB +cosB cosB +sinB 恒成立; 猜想(3)代入条件sinA = sinB +sinC cosB +cosC 中,不 成立. 故,ABC是直角三角形. 而这一验证猜想的过程,正是数学思维中奇 异美的要求与体现.如此,学生很快得出下面题目 的答案. 例题7 ABC中,sin A 2 sin B 2 sin C 2 = 1 8 ,则 ABC的形状为(等边三角形) 例题8 ABC中,sin(A + B)sin(A - B) = sin2C,则 ABC的形状为 分析 A = B时,条件不恒成立;A + B = 90 时, C =90,条件不恒成立;A =90 或B =90 时,条件恒成立. 所以 ABC为直角三角形. 这样,学生再遇到此类问题(特别是做选择题 和填空题 ) , 就会大大提高解答速度,进而提高了 解题能力.如此的问题要靠我们教师在教学中挖 掘并总结.我们应充分利用数学思维中的美学因 素进行教材分析和教学研究,以便提高学生分析 数学问题的能力和效率. 以上观点及论证,足以说明数学思维中