河南洛阳高三数学尖子生第一次联考文

河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别解出集合A和B，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】，故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知复数满足，则（ ）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】,故选.3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，根据，求得的值，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，所以为第三象限角.又是角终边上一点，所以，再根据（为坐标原点），所以，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列中，等差数列中，则数列的前项和等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质可得，求得，得到，再由等差数列的前n项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列中，满足，由等比数列的性质可得，即，所以，又由，所以所以数列的前项和，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】，直线是函数的图象在点处的切线，其斜率为（1），直线的方程为又因为直线与的图象相切，消去，可得，得不合题意，舍去），故选：A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.在内任取一个实数，设，则函数的图象与轴有公共点的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】的图象与轴有公共点，或在内取一个实数，函数的图象与轴有公共点的概率等于，故选D.7.已知x，y满足条件(k为常数)，若目标函数zx3y的最大值为8，则k()A. 16B. 6C. -D. 6【答案】B【解析】【详解】由zx3y得yx，先作出的图象，如图所示，因为目标函数zx3y的最大值为8，所以x3y8与直线yx的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2xyk0，得k6.8.若向量满足，的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造，得到四点共圆，结合图形，得到当线段为圆的直径时，此时最大，即可求解.【详解】如图所示，构造，因为，所以四点共圆，所以当线段为圆的直径时，此时最大，由余弦定理可得，所以，又由正弦定理可得，即的最大值2，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.9.已知函数,若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】画出分段函数图象，原题意等价于函数的图象与有三个不同的交点。由图可解，注意y=1是一条渐近线。【详解】函数，作出函数图象，如图所示，方程有三个不同实数根，等价于函数的图象与有三个不同的交点，根据图象可知，当时，函数的图象与有三个不同的交点，方程有三个不同的实数根，的取值范围是，故选A【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解10.已知数列的首项，前项和为，设，数列的前项和的范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先通过求解出通项公式，然后根据求解出通项公式，最后求解的前项和的范围.【详解】因为，所以，所以，即，且，所以且时符合，所以；因为，所以，所以，所以，所以，令，所以，所以，所以是递减的，所以，所以，综上：，故选：C.【点睛】本题考查数列的通项和求和的应用，难度较难.判断求和的结果的取值范围时，可以借助函数的思想，利用单调性去分析.11.已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A.【点睛】本题考查函数奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】连接,由双曲线的定义可得:, ,由,可得,在中,可得,在中,可得,由，可得,即有,可得,化为,得,解得 ,负值舍去,故选C. 点睛:本题考查双曲线的定义与离心率,属于中档题目.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,其关键是确立一个关于的方程或者不等式,再根据的等量关系消掉得到的关系式即可,建立方程或者不等式,要充分利用椭圆或双曲线的几何性质,点的坐标的范围等.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知样本的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则_.【答案】1【解析】【分析】根据平均数与方差的线性变换先去计算的值，然后计算的值.【详解】因为的平均数为，所以的平均数为；因为的方差为，所以的方差为；所以，解得：或，所以.【点睛】本题考查平均数与方差的线性变换，难度一般.已知的平均数与方差为：，那么的平均数与方差为：.14.设定义在上的函数,给出以下四个论断：的周期为； 在区间上是增函数；的图象关于点对称；的图象关于直线对称.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（写成“”的形式）_.（其中用到的论断都用序号表示）【答案】 或【解析】若成立，的周期为，则；若的图象关于直线对称.令时此时的图像关于点（,0）对称成立；在区间（,0）上是增函数成立；即；若成立可得，此时在区间上是增函数成立，的图象关于直线对称成立，故答案为或.15.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值【详解】由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为,双曲线实轴为2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，又PF1PF2，2+2,得，将代入,得，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.16.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3则其外接球的体积为_.【答案】【解析】【分析】画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.【详解】如图所示：设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知分别是内角的对边，且满足： .(1)求角的大小；(2)设，为的面积，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）运用正弦定理可得b2+c2a2bc，再由余弦定理计算可得所求角；（2）运用正弦定理求得b，c，由三角形的面积公式可得S，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值【详解】(1)，根据正弦定理，知，即.由余弦定理，得.又，所以.(2)根据，及正弦定理得，. .故当时，取得最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及余弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题18.如图，在四棱锥E-ABCD中，AEDE，CD平面ADE，AB平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3.（I）求棱锥C-ADE的体积；（II）求证：平面ACE平面CDE；（III）在线段DE上是否存在一点F，使AF平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】()；()证明见解析；()存在，.【解析】【分析】（I）在中，可得，由于平面，可得；（II）由平面，可得，进而得到平面，即可证明平面平面；（III）在线段上存在一点，使平面，设为线段上的一点，且，过作交于点，由线面垂直的性质可得：可得四边形是平行四边形，于是，即可证明平面【详解】（I）在RtADE中，因为CD平面ADE，所以棱锥C-ADE的体积为.（II）因为平面，平面，所以.又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面（III）在线段上存在一点F，且，使平面.解：设为线段上一点，且，过点作交于，则.因为平面，平面，所以，又因为所以，所以四边形是平行四边形，则.又因为平面，平面，所以平面.点睛：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常见形式：1、利用三角形中位线得到线线平行；2、构造平行四边形；3、构造面面平行.19.前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识,把大量的污染物排放到空中与地下,严重影响了人们的正常生活,为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭,整顿,另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物,通过几年的整治,环境明显得到好转,针对政府这一行为,老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分(满分100分）如下表：分数频数231114119请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2019年6月的空气质量指数，其数据如下表：空气质量指数05050100100150150200天数21882用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率)(相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2019年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？附：空气质量指数0-5050-100100-150150-200200-300300空气质量指数级别IIIIIIIVVVI空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）直方图见解析；（2）第级；（3）4400元.【解析】【分析】（1）计算出每组频率除以组距的值做为纵轴的数值；（2）利用组中值计算出平均值，根据表格判断空气质量指数级别为第几级；（3）根据（2）中表格数据，计算出轻度污染和重度污染对应的服药费用总和，然后和以前的费用做对比去计算少花的钱.【详解】（1）由评分表可知，相应区间频率除以组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为.对照表格可知，该月空气质量指数为第级，属于良.（3）估计2019年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，所以小李花费的药费为 元.又元，所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，难度一般.注意频率分布直方图的纵轴表示的数值是频率除以组距，不是频率，这一点要注意.20.已知两点，动点与两点连线的斜率满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（）；（2）存在，3个.【解析】【分析】（1）求动点的轨迹方程的一般步骤：1建系建立适当的坐标系2设点设轨迹上的任一点P（x，y）3列式列出动点P所满足的关系式4代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简5证明证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程；（2）由题意可知设所在直线的方程为，则所在直线的方程为分别联立椭圆方程求得弦长，,再由得解方程即可.【详解】（1）设点的坐标为（）,则, 依题意,所以,化简得, 所以动点的轨迹的方程为（）. 注:如果未说明（或注）,扣1分.（2）设能构成等腰直角,其中为,由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为,（不妨设）,则所在直线的方程为,联立方程,消去整理得,解得,将代入可得,故点的坐标为.所以,同理可得,由,得,所以,整理得,解得或,当斜率时,斜率；当斜率时,斜率；当斜率时,斜率,综上所述,符合条件的三角形有个. 考点：圆锥曲线的综合应用21.已知函数，其中.（）当a=1时，求函数的单调区间：（）求函数的极值；（）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围。【答案】（）单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1）; （）见解析（）a1【解析】【分析】（）当a=1, f（x）=,解f（x）0确定单调区间；（）f（x），讨论a0和a0时f（x）的符号，确定单调性和极值；（）由（）知当 a0时，f(x)至多有一个零点，舍去；当a0时，函数的极小值为f(a)=设函数g(x)=lnx+x-1，求导确定g（x）：当0x1时，g(x)1时，g(x)0，分情况讨论：当01时，由零点存在定理确定（）和（a,3a-1）各有一个零点，则a可求【详解】（）当a=1时, f（x）=当f（x）1; f（x）0时，0x0，当xa时，f（x）0) g(x)在（0，+）单调递增，又g(1)=0, 0x1时，g(x)1时，g(x)0(i) 当01时，f(a)=ag(a)0函数f(x)在（）内有一个零点，f(3a-1)=aln(3a-1)-设h(x)=lnx-x(x2) h(x)在（2，+）内单调递减，则h(3a-1)h(2)=ln2-21时，函数f(x)恰有两个零点综上，函数有两个不同的零点时，a1【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点个数的判断，函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力选考部分：请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 选修4-4；坐标系与参数方程22.在平而直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 ，曲线的极