正交矩阵与正交变换的性质及应用

正交矩阵与正交变换的性质及应用 程祥 河南大学数学与信息科学学院 开封 摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广.关键词:正交矩阵;正交变换;性质 1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1 阶实矩阵, 若满足, 则称为正交矩阵.性质1 为正交矩阵.性质2 为正交矩阵. 性质3 为正交矩阵.1.2 正交矩阵的性质 性质1 若为正交矩阵则均为正交矩阵. 证明 有, 可得均为正交矩阵. 性质2 若为正交矩阵则 证明 对两边同取行列式,可得, 故. 性质3 若为正交矩阵，则也为正交矩阵. 证明 有, 可得 为正交矩阵. 性质4 正交矩阵的特征值的模为1. 证明 设为正交矩阵，复数为其任一特征值为其对应的特 征向量，即，两边取转置，由此得, 有可得, 从而. 性质5 正交矩阵的实特征值为. 性质6 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设为n阶正交矩阵且，n为奇数 则 , 故, 即有特征值1. 性质7 行列式为1的正交矩阵必有特征值1. 证明 设为正交矩阵且 则 , 故, 即有特征值1.性质8 设为正交矩阵的特征值，则也为的特征值.证明 因为的特征值 故存在特征向量 从而, 得, 即为的特征值, 从而也为的特征值.性质9 设为一n阶正交矩阵，有一特征值为，相应的特征向量为，则证明 有, 得, 两边转置得 ,令,故,计算可得,比较第一行元素可知,又为正交矩阵，有性质4知,代入并注意到有,可得即,易得,从而.下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.例1 证明：不存在正交矩阵. 证明 设有正交矩阵, 则都是正交矩阵,且, 故为正交矩阵, 从而, 两式相加，得, 矛盾 故得证.例2 设 证明 因为正交方阵，故, 又, 从而, 得有特征值-1, 故, 即, 因此.例3 设证明：存在一实数 使得. 证明 设则 , 因为为奇数阶正交矩阵且, 故有特征值1，不妨设则, 于是, 从而, 其中, 有因正交矩阵的特征值的模为1, 故, 得, 于是, 从而,.例4有椭球面的中心，引三条两两垂直的射线，分 交曲面于点 ，设.证明： .证明 设， 则 ，且,代入曲面方程可得, 故, 有两两垂直可得为正交矩阵, 故, 从而有.2.1正交变换的定义及等价条件 定义2：欧氏空间的线性变换称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有.正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.定理 设是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等价的： (1) 是正交变换； （2）保持向量的长度不变，即对于； （3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基； （4）在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2.2正交变换的性质和应用 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平 移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.例5 设是欧氏空间的一个变换，证明：如果是保持内积不变.即对于，那么它一定是线性的，因而它是正交变换.证：先证：由条件得从而再证：同理，由于例6 设与是维欧氏空间的两组向量，证明：存在正交变换使的充要条件是证明 设有正交变换，则 证 设成立.令 则但易知是到的同构映射.于是=.从而得，,令为到得一个同构映射，则对令,易知是的正交变换且由得例7设是维欧氏空间的两个线性变换，证明：存在.证明 令则易知, 是，因此有, 令, 是的正交变换，且对任意有 故, 因此.参考文献1杨子胥. 高等代数精选习题M.高等教育出版社，2008.2北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M.高 等教育出版社，2003.9. 3刘志明.关于正交矩阵性质的探讨J.重庆师范学院学报(自然科学版),2000，第17卷增刊. 4吴险峰，张晓林.正交矩阵的进一步探讨J.齐齐哈尔大学学报，2008，第14卷第6期. 5戴立辉，王泽文，刘龙章.正交矩阵的若干性质J.华东地质学院学报，2002，第25卷第3 期.6涂文彪.正交矩阵的进一步推广及性质J.蒙自师专学报，19