河南郑州第一中学高二数学期中理

河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用反证法证明命题“可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，其反设正确的是（ ）A. 都能被5整除B. 不都能被5整除C. 都不能被5整除D. 不能被5整除【答案】C【解析】【分析】求中至少有一个能被5整除的否定即可.【详解】因为中至少有一个能被5整除的否定为都不能被5整除，选C.【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基础题.2.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求复数代数形式，再根据复数几何意义得结果,【详解】因为，所以，对应点为，选B.【点睛】本题考查复数代数形式以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.曲线在点处切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.4.设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知，四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为，因此可知R，选B5.在的展开式中，含项的系数为（ ）A. 60B. 64C. 160D. 【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式通项公式求特定项系数.【详解】因为，所以令，因此含项的系数为，选A.【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）A. 种B. 37种C. 18种D. 16种【答案】B【解析】【分析】根据间接法求解甲工厂没有班级去的方法数即可.【详解】高二年级三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有种方法，若甲工厂没有班级去，则有种方法，所以所求不同的分配方案有 种方法，选B.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知为虚数单位， ,若为纯虚数，则复数模等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】先根据纯虚数概念得，再根据模的定义求结果.【详解】因为为纯虚数，所以，即，因此，所以，选D.【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】【分析】剩余的4个空车位看作一个元素，由相邻问题用捆绑法求排列数.【详解】剩余的4个空车位看作一个元素，则不同的停车方法有种，选D.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知曲线，轴与轴在第一象限所围成的图形面积为，曲线，曲线与轴所围成的图形面积为，则的值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据定积分求，即得结果.【详解】因为，由得,所以，因此，选A,【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.函数在内存在极值点，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】转化为导函数在内有变号的零点，分离参数，进而转化为求函数的值域问题.【详解】因为在有解，即求值域，因为在上单调递增，所以，选B.【点睛】本题考查函数极值，考查等价转化思想方法与基本求解能力，属中档题.11.在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求，再确定有理项项数，最后根据排列组合方法计算，利用古典概型概率公式得结果.【详解】因为只有第五项的二项式系数最大，所以从而，所以时为有理项，有理项不相邻有种方法,因此所求概率为,选A.【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.12.定义：如果函数在区间上存在满足，则称函数是在区间上的一个双中值函数.已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】转化为函数有两个零点问题，再根据二次函数图象可得不等式，即得结果.【详解】由题意得在区间上有两个零点，即，因此或，解得或，即，选C.点睛】本题考查函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分13.袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是_.【答案】【解析】试题分析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是考点：条件概率与独立事件点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题14.已知随机变量服从正态分布，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据正态分布对称性求解.【详解】【点睛】本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题15.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】转化函数单调性，再利用导数求解.【详解】令，则当时，不等式恒成立,即在上单调递增，所以在上恒成立，因为，所以当时，当时，从而当时【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数解决不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题16.已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用导数求函数最值.【详解】因，所以的最值在取得，当时，对应值为，当时，对应值为，综上的最小值为【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知复数，且（）求复数； （）若是实数，求实数的值【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据复数相等列方程组，解得（）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数的值【详解】解： （）由题意解之得 所以为所求 （）由（）得，是实数，即为所求【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题18.已知数列的前项和满足：且（）计算的值，并猜想的通项公式； （）用数学归纳法证明的通项公式【答案】（） （）见解析【解析】【分析】（）根据递推关系逐一代入求解，再根据规律归纳，（）根据和项与通项关系得递推关系式，再利用求根公式解得相邻项关系，最后根据数学归纳法证明【详解】解：（）当时，解得，又，当时，解得，又，当时，解得，又，猜想 （）证明：当时，由（）可知成立假设（ ）时，成立，所以当时猜想也成立综上可知，猜想对一切 都成立【点睛】本题考查数学归纳法求与证数列通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题19.（2013重庆）设f（x）=a（x5）2+6lnx，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点试题解析：（1）因为，故令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得（2）由（1）知，（）， 令，解得，当或时，故的递增区间是，；当时，故的递减区间是由此可知在处取得极大值，在处取得极小值考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面（1）已知切点A（x0，f（x0）求斜率k，即求该点处的导数值：kf（x0）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1），即解方程f（x1）k；（3）已知过某点M（x1，f（x1）（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0），利用k求解20.某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响.（）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外次未击中目标，则额外加分；若3次全部击中，则额外加10分.用随机变量表示射手射击3次后的总得分，求的分布列和数学期望.【答案】（I）（II）故的分布列是010202540【解析】试题分析：解：设为射手3次射击击中目标的总次数，则.故,所以所求概率为.由题意可知，的所有可能取值为,用表示事件“第次击中目标”，则， .故的分布列是010202540.考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题21.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数，)的管理费根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元 （）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值【答案】(1) L(x)= 500(x30a)e40x(35x41)；(2) 当2a4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5a)e5万元；当4a5时，每件产品的售价为(31a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9a万元.【解析】试题分析:（1）先根据条件求出k，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y.将x40，y500代入，得k500e40.故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y500e40x.所以L(x)(x30a)y500(x30a)e40x(35x41)(2)由(1)得，L(x)500e40x(x30a)e40x500e40x(31ax)当2a4时，L(x)500e40x(31435)0，当且仅当a4，x35时取等号所以L(x)在35，41上单调递减因此，L(x)maxL(35)500(5a)e5.当4035x31a，L(x)031ax41.所以L(x)在35，31a)上单调递增，在31a，41上单调递减因此，L(x)maxL(31a)500e9a.综上所述当2a4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5a)e5万元；当4a5时，每件产品的售价为(31a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9a万元22.已知函数（）求函数的单调区间； （）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（）证明：【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.试题解析：（1）定义