高中数学一轮复习第4讲函数y=Asin的图象及三角函数模型的简单应用

第4讲 函数y=Asin的图象及三角函数模型的简单应用1.将函数y=sin(6x+的图象上各点向右平移个单位,则得到新函数的解析式为( ) A.y=sinB.y=sin C.y=sinD.y=sin 【答案】 A 【解析】 新函数解析式为y=sinsin故选A. 2.为了得到函数y=2sinR)的图象,只需把函数y=2sinR)的图象上所有的点( ) A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 【答案】 C 【解析】 将函数y=2sinx的图象向左平移个单位得到函数y=2sin(x+的图象,将函数y=2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),则得到函数y=2sin的图象,故选C. 3.已知函数f(x)=sin的最小正周期为,则该函数图象( ) A.关于直线对称B.关于直线对称 C.关于点对称D.关于点对称 【答案】 D 【解析】 根据函数f(x)的最小正周期为,可得f(x)=sin(2x+.当时所以该函数图象关于点对称;当时.故选D. 4.若函数f(x)=sin 在区间上单调递增,在区间上单调递减,则( ) A.3B.2C.D. 【答案】 C 【解析】 根据函数f(x)=sin 在区间上单调递增,在区间上单调递减,可知(Z),可知选项C中符合. 1.将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位,所得到的图象解析式是( ) A.y=sinxB.y=cosx C.y=sin4xD.y=cos4x 【答案】 A 【解析】 y=sin横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y=sin(x+向右平移个单位y=sinsinx. 2.若函数f(x)=sin|的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=sinB.f(x)=sin C.f(x)=sinD.f(x)=sin 【答案】 A 【解析】 由,得T=4,.又函数图象过点,0),可得. 3.若函数y=Asin的最大值为4,最小值为0,最小正周期为直线是其图象的一条对称轴,则它的解析式是( ) A.y=4sinB.y=2sin C.y=2sinD.y=2sin 【答案】 D 【解析】 由题意得 . y=2sin. 是其对称轴,sin. Z). Z). 当k=1时. 4.已知函数f(x)=2sin其中|的最小正周期是,且则( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 函数|的最小正周期为, . f(0)=2sin 即sin| 故选D. 5.设函数y=sin的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值是( ) A.B.C.D.3 【答案】 C 【解析】 由题意知即的最小值为. 6.若函数f(x)=2sin对任意x都有x),则等于( ) A.2或0B.-2或2 C.0D.-2或0 【答案】 B 【解析】 由可知是函数f(x)的一条对称轴.又f(x)=2sin在对称轴处取得最值, 选B. 7.已知,关于x的方程2sin有两个不同的实数解,则实数a的取值范围为( ) A.B. C.D. 【答案】 D 【解析】 令sin作出的图象如图所示: 若关于x的方程2sin在(0,上有两个不同的实数解,则与应有两个不同的交点,所以a0则函数解析式为. 【答案】 y=2sin 【解析】 由题设得,A且当时,sin故. 故所求解析式为y=2sin. 9.给出下列六种图象变换方法: (1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的; (2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍; (3)图象向右平移个单位; (4)图象向左平移个单位; (5)图象向右平移个单位; (6)图象向左平移个单位. 请用上述变换中的两种变换,将函数y=sinx的图象变换到函数y=sin的图象,那么这两种变换正确的标号是(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可). 【答案】 (4)(2)或(2)(6) 【解析】 y=sinx(4)y=sin(2)y=sin或y=sinx(2)y=sin(6)y=sinsin. 10.已知函数f(x)=2sin|图象的一部分如图所示,则 . 【答案】 【解析】 由题图可知为三角函数五点作图法的第一个点,所以解得. 11.已知函数f(x)=3sin0)和g(x)=2cos(2x+的图象的对称轴完全相同.若则f(x)的取值范围是 . 【答案】 【解析】 由题知g(x)=2cos的周期. 若f(x)=3sin的对称轴与g(x)的对称轴完全相同,则f(x)的周期T也应该是,故. 又.f(x)=3sin. 若则. sin. f(x)=3sin. 12.已知函数y=3sin (1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 【解】 (1)列表: 描点、连线,如图所示: (2)方法一:”先平移,后伸缩”. 先把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位,得到函数y=sin的图象;再把函数y=sin(x-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象,最后将函数y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin的图象. 方法二:”先伸缩,后平移”. 先把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象;再把函数y=sin图象上所有的点向右平移个单位,得到函数y=sinmsin的图象,最后将函数y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin的图象. (3)周期,振幅A=3,初相是. (4)令Z), 得x=2kZ),此为对称轴方程. 令Z),得Z). 故对称中心为(2kZ). 13.(2012安徽合肥检测)已知函数f(x)=sinsinsincosR的图象在y轴右侧的部分第一个最高点的横坐标为. (1)求; (2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 【解】 sincos =sin. 令将代入可得. (2)由(1)得f(x)=sin. 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin. 当x=4kZ时,函数g(x)取得最大值. 令2kZ), 即Z为函数g(x)的单调递减区间. 14.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据. 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos的图象. (1)根据以上数据,求出函数y=Acos的最小正周期T、振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行运动? 【解】 (1)由题中表中数据,知周期T=12, . 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 由t=3,y=1