高中数学实际问题的函数建模例题思考北师大必修1

实际问题的函数建模 例题思考1由变量之间的依存关系建立函数关系解题的关键在于正确分析问题中量与量之间的内在本质联系，抓住主要因素进行抽象，其基本步骤是“四步八字”，即审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义此四步用框图可表示为常见的函数模型有：（1）代数函数模型这是一种较为简便的函数模型，在这种模型中，变量与变量之间满足一个代数方程例如：某湖滨住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，计算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（下图阴影部分）铺花岗岩路面，造价为210元/m2，再在四个三角形空地上铺草坪，造价为80元/m2问矩形宽为多少时，总造价最小？设ADx，AMy，则x24xy200，总造价这就是这一问题中的变量所满足的代数方程，这样，可以建立一个代数函数模型：“x为何值时，函数有最大值”我们可以通过演算、推理得代数函数模型的解：当，即时，Q最小从而得到原实际问题的解：当矩形的宽为（约等于3.16）米时，总造价最小下面让我们再观察另一个例子：一个工厂得到任务需要加工6000个零件A和2000个零件B该厂共有工人214名，每个人加工5个零件A的时间可以加工3个零件B现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始应怎样分组，才能使任务最快完成？设加工零件A的工人数为x，在单位时间里一个工人加工零件A的数目为5k，加工零件B的数目为3k，则加工零件A所需时间为，加工零件B所需时间为，其中k为一个比例常数，最后完成任务的时间就为而，这也可以看作是这一问题中变量所满足的代数方程于是，问题就归结为以下的代数函数模型：“自然数x（1x213）取多少时，函数f（x）有最小值”从函数图象如上图可以看到，当，即时，f（x）有最小值因x0为非自然数，故而比较f（x）在x0的两个邻近自然数x1137，x2138处的函数值，有f（137）f（138）所以加工零件A、B的人数分别为137、77名时，可以最快地完成任务（2）指数函数模型一个简单的例子是细菌的繁殖若一开始有300个细菌，其随时间而迅速繁殖，细菌数按小时成倍增长，即有x（小时）0123y（细菌数）30060012002400点ABCD60030021，120030022，240030023，从而可以抽象归纳成一个函数模型y3002x，这就是我们所认识的指数函数，图形见下图由此还可以推断在实验开始之前细菌的个数，例x1，即实验前1小时，细菌个数为y30021150；x2，即开始之前2小时，细菌个数为y3002275这种指数函数模型的特点是：当一个变量算术地增长时，另一变量则按一定比例的倍数增长即有xa2a3a4aNay下图是反映某国从1800年到1980年间人口数量的一批数据资料（单位：百万）从上图所反映的数据来看，当年份x每隔10年增长时，该国的人口数y近似地按一定比例的倍数增长，其几何上的图形与细菌繁殖的图形相类似这就告诉我们可以用一个指数函数模型近似地刻画这个国家人口的变化情况现在让我们作进一步的分析考察近几十年的资料：年份人口数10年中增长的倍数192010602000019301232000001.16219401321600001.07319501513300001.14519601793200001.18519702033000001.13419802265400001.114从1920年到1930年中，平均每年增长；而从1920年到1980年这60年来看，通过类似计算，平均每年增长率约为1.013以这段时期中间年份1950年的人口数作为初始数据，记x为年份数，则对该国人口数y（百万）的较好的一个近似的指数函数模型为y151（1.013）x1950以此为据，可以预测到2000年时，这个国家的人口数为151（1.013）20001950151（1.013）50288000000（人）很自然地，也会提出“什么时候，该国的人口数达到4亿”这样一类的问题，这也就是在现在的指数函数模型中，已知y，求指数x的问题，正是我们所熟悉的对数函数若对前面所给出的17901980年的数据资料作更为详尽的分析，便可以得到在不同时期，该国的人口数y（百万）所满足的指数函数模型以上两个例子，不管是简单的细菌繁殖问题，还是较为复杂的人口问题，它们都（或近似）符合指数函数模型的特征遵循这种变化规律的还有许多例如放射性物质14C的衰减问题14C的半衰期是5730年，每经一个半衰期衰减原有数量的一半，残留原有数量的一半现在设从100克开始，有x（半衰期5730的倍数）10123y（克）200100502512.5这一问题的指数函数模型为y100（0.5）x，当x1时，y200，表示在5730年前，14C的量可以测定为200克，而x2，即经11460年之后，14C仅残留25克这一模型的几何图形如下图所示2在用数学模型解决实际问题时，我们往往需要依据掌握的数据资料，建立尽量符合问题实际的数学模型，从中认识和掌握其内在的规律与联系，展示以后的变化趋势在根据这些数据建模时，大致有以下两种情况：第一种是在变化过程中，所涉及的变量之间存在某种确定性的函数关系，检测所得的数据资料仅仅是这种确定性的函数关系在量上的显示，我们把这一种情况称为确定性现象第二种是变化过程中，变量呈现随机性，变量之间不存在某种确定性的函数关系，我们称为随机性现象下面，我们就这两种情况分别举例加以说明（1）确定性现象既然此时变量之间存在一种确定性的函数关系，那就需要我们对数据资料进行详尽的分析处理，揭示内在的函数关系，建立数学模型一个较为简单的例子是圆的周长C与直径d之间的关系不同的圆有不同的周长，人们通过大量的检测数据，揭示这一本质的关系，建立了函数模型Cd，其中是一个常数3.141592653，称之为圆周率另一个简单的例子是水下深度d和压力P之间的关系下表是在不同的深度所测得的压力，描绘出的散点图显示散点似乎在过原点的一条直线上(如下图所示)，事实上是一次函数模型Pkd（k为比例常数）水深（d）1025405575压力（P）4.310.817.223.732.3正是压力P和深度d之间的确定性的函数关系，其中k可以由所给的数据确定如d10时，P=4.3，从而k0.43，P0.43d有了模型，我们就可以预测在其他深度上的压力例如当d=125时，压力为P0.4312553.75下面让我们再来观察、分析一个例子建筑工地为了施工需要，常常在脚手架之间搭上跳板，如下图所示此时，就需要考虑跳板所能承受的最大重量显然，跳板越宽、越厚，承受的重量就越大；而跳板越长，承受的重量则相反越小那么如何建立承受重量P与跳板的长d、宽和厚t之间的函数关系数学模型呢？现在我们暂时固定d、t中的两个变量，观察另一个变量与承受重量P之间的关系固定d10，t2经测试，得到以下的数据资料和散点图跳板的宽度123456最大承受重量P275380107133160从散点图（如下图所示）中，可以看出散点几乎处在一条通过原点的直线上，于是可以认定最大承受重量P和宽度成正比固定d10，3同样经测试，得到以下的数据资料和散点图跳板的厚度t123456最大承受重量P2080180320500720散点图（如上图所示）显示给出的点几乎处于一条通过原点的抛物线上，于是，我们认定最大承受重量P和厚度t的平方成正比固定3，t2再次测试，得到以下的数据资料和散点图跳板的长度d123456最大承受重量P800400267200160133这里，散点图显示最大承受重量P与长度d成反比归纳以上的分析，得到这一问题中变量之间的关系：最大承受重量P与宽度、厚度的平方t2都成正比，与长度d成反比，即有数模型这就告诉我们，宽度和厚度越大，长度越短，跳板就越结实最后还剩下一个问题确定模型中的比例系数是k由上面所测得的数据资料中的任意一组都可以推导出k的数值例如当d10，1，t2时，最大承受重量P27，于是从而完全确定这一函数模型：这就是这一问题中，变量本身所存在的确定性的函数关系由此，可以预测当变量取其他数值时，最大承受重量户的数值，这就保证了建筑工人的安全例如当长度d20，宽度1.5，厚度t11.5时，最大承受重量P为，即跳板最大可以承受670的重量（2）随机性现象正如前面已经指出的，这种现象所涉及的变量之间不存在某种确定性的函数关系，但是我们可以从所获得的数据资料出发，建立尽量符合问题实际的函数模型，使其与已知的数据最为吻合使用的方法很多，这里介绍常用的一些方法一元线性模型我们提到，由n对数据可以建立一个（n1）次多项式模型但是这种模型尽管与所给的数据相吻合，但往往不一定是最合适的也就是说，我们并不要求找到这样一条曲线，使它通过每一点（xi，yi）（i1，2，n）这是因为，检测结果中不可避免地含有随机的测量误差，因而完全符合检测数据并不能真实地反映变量x和y的函数关系所以应当这样处理检测数据，使所得到的函数模型尽可能精确地反映变量x和y之间的关系，消除检测时不可避免的随机误差例如在测量某种树的高度y和离地面1.5米处的直径x时，得到以下12对数据：直径x0.090.120.290.310.330.390.430.620.961.261.612.58树高y1826323644.535.640.557.567.3846787.5从图中看出，大多数点的分布近似地可以看作是一条直线由此，我们假设树的高度y和直径x满足线性模型：axb现在的问题是合理选取参数a、b，使得这个线性函数能最佳地表现检测的结果，从而能较为准确地预测未知的数值通过随手画法或最小二乘法，解得a27.157，b29.313所以最佳的一元线性模型为27.157x29.313再如，下面列出的是18961984年间历届奥运会上男子跳远的金牌得主的成绩年份t成绩y（米）年份t成绩y（米）18966.3419487.8219007.1919527.5719047.3419567.8319087.4819608.1219127.6019648.0719207.1519688.9019247.4519728.2419287.7419768.3519327.6419808.5419368.0619848.54男子跳远与其他比赛一样，其成绩与众多因素有关但随着时间的推移，由于训练方法不断改进，训练水平不断提高，成绩总体上呈现上升趋势基于这种考虑，我们把成绩y看作是时间t的函数根据所给的数据资料，可以描绘出散点图（如下图所示）和上例一样，由于散点的分存在某一条直线上下波动，所以假设成绩y是时间t的线性函数yatb用适当的方法可以求得a0.018，b26.9，即这一问题的最佳的一元线性模型为y0.018t26.9于是我们可以预测1988年奥运会成绩为8.88米（与实际结果仅差0.16米），而2000年可以达到9.1米非线性模型非线性模型的类型很多，例如幂函数