高中数学探究性汇编

高中数学探究性试题汇编课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。1已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。 （）函数是否属于集合？说明理由； （）设函数，求的取值范围； （）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。解：（）若，在定义域内存在，则， 方程无解，。 （）， 时，；时，由，得。 。 （），又函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，则，其中。，即。2已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：（1）求的值，并证明对任意的，都有；（2）设当时，都有，证明在上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。解：（1） （2）当时，都有6分 当，即时，有， 即 在上是减函数。（3）在上是减函数，是递增数列数列是递减数列。集合中的最大元素为，最小元素为 。3已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）通过构造一个新的数列，是否存在一个非零常数，使也为等差数列； （3）求的最大值。 解：（1）等差数列中，公差，。 （2），令，即得， 数列为等差数列，存在一个非零常数，使也为等差数列。 （3）， ，即， 时，有最大值。4已知数列中，且点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）若函数求函数的最小值； （3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。5设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和 的积函数。 （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域； （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1），。 （2），函数的定义域为，令，则， ，时，又时，递减，单调递增， ，即函数的值域为。 （3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则， ，则，要满足值域为，则要满足， 由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值， ， 又在上是增函数，在上是减函数， 综上，得 。6、已知二次函数同时满足：不等式的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立。 设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数。解：（1）的解集有且只有一个元素， 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。 综上，得， （2）要使，可构造数列，对任意的正整数都有， 当时，恒成立，即恒成立，即， 又，等等。 （3）解法一：由题设，时，时，数列递增，由，可知，即时，有且只有个变号数；又，即，此处变号数有个。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。解法二：由题设， 时，令； 又，时也有。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。7已知复数， （1）当时，求的取值范围； （2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 解：（1）， 。 （2）（理），为纯虚数，8已知为正常数。 （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在 上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（1）若、，则（当且仅当时取等号）。 （2）在上恒成立，即在上恒成立，即，又，即时，又，。 综上，得 。 易知，是奇函数，时，函数有最大值，时，函数有最小值。故猜测：时，单调递减；时，单调递增。（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。 如对，此时， 即 。9已知函数，（）当时，若在上单调递增，求的取值范围；（）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是 的最小值；（）对满足（）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（）当时，若，则在上单调递减，不符题意。故，要使在上单调递增，必须满足 ， 。（）若，则无最大值，故，为二次函数，要使有最大值，必须满足，即且，此时，时，有最大值。又取最小值时，依题意，有，则，且，得，此时或。满足条件的实数对是。（）当实数对是时，依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对，此时，故。10. 已知在数列中，(、,0)。 （1）若=2，=-1，求、，并猜测； （2）若是等比数列，且是等比数列，求、满足的条件； （3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第次 运动的位移是，质点到达点。设点的横坐标为，若=0，若， 求。解：（1）， (2) 猜测: . (4) （2）（理）由， 得， 当时，显然是等比数列， 当时，因为，只有时，才是等比数列 ，即，或 由， 得(n2), 当时，(n2)，显然是等差数列， 当时，只有时，才是等差数列， ，即，或 综上，、满足的条件是 （3）， (12) , . ，11已知函数， （1）若函数，求函数、的解析式； （2）若函数，函数的定义域是1,2， 求的值； （3）设是定义在上的周期为4的奇函数，且函数的图像关于直线 对称。当时，求正数的最小值及函数在-2,2上 的解析式。解：（1） ， (1) ； ； . （2） ，, , ， . 由题设，得. （3）是定义在R上的奇函数， 函数的图象关于直线对称， 在式中以替换，得 由式和式，得 在式中以替换，得 由式和式，得 (14) 是定义在R上的周期为4的奇函数，正数的最小值是1. 当0,1时，当-1,0时，0,1， ，即. 函数的图象关于直线对称， 当(1,2时，2-0,1)， 当-2,-1)当，(1,2，即.A1OB3B2B1A3xyA2 . 12. 已知等差数列的首项为，公差为.对于不同 的自然数n，直线与x轴和指数函数的图像分别交于点（如图所示），记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.（1） 求证数列是公比绝对值小于1的等比数列；（2） 设的公差，是否存在这样的正整数n，构成以为边长的三角形？并请说明理由；（3） （理）设的公差为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S2010？并请说明理由.（文）设的公差，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.解（1）， 2分，对于任意自然数n，=，所以数列是等比数列且公比，因为，所以 4分（写成，得公比也可）（2），对每个正整数n， 6分若以为边长能构成一个三角形，则，即，1+24，这是不可能的 9分所以对每一个正整数n，以为边长不能构成三角形 10分（3）（理）由（1）知， 11分所以 14分若 16分两边取对数，知只要取值为小于的实数，就有S201018分说明：如果分别给出与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。（文）， 11分所以 14分如果存在p使得，即 16分两边取对数得：，因此符合条件的p值存在，可取p= -11等 18分说明：通过具体的p值，验证也可。13函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。 (2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立，取x=0，则f(0)+f(m0)=4，即=4，m= 4(必要性)又m= 4时，f(x)+f(4x)=4成立(充分性)所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立， (3)|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t0，则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2+=(t2+)+2(t)+2=(t)2+2(t)+10=( t+1)2+9，所以当t+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 14.已知元素为实数的集合满足下列条件：1、0；若，则若，求使元素个数最少的集合；在上一小题求得的集合中，任取3个不同元素，求使的概率。（本小题选理科的学生做，选文科的学生不做） 若非空集合为有限集，则你对集合的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确。解 ；使的元素个数最少的集合为设是中三个不同元素，且使，由于中仅有2个负数，故只有如下两种可能：所相对的概率为非空有限集的元素个数是3的倍数证明如下：设则且 由于，但无实数根故同理若存在，而，则且（若中有元素，则利用前述的式可知）于是上述推理还可继续，由于为有限集，故上述推理有限步可中止的元素个数为的倍数。15.已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。(1)求的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使的定义域和值域分别是m，n和3m，3n?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由。.解: (1)由条件易得,7分 (2)假设存在这样的m、n满足条件,由于所以3n即nm时，an2?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。(3) 当n10时，证明an.解（1）a8=, a9=, a10=.(2)an-2=,当an-22时，an2, 又a9=-82,故当n8时an2。由an=得an-1=, an-1-2=.当an2时，an-12。又a8=122，当n8时，an2。综上所述，满足条件的m存在，且m=8.(3)an-1+an+1-2an = ( -an)+()=.a10=-（-3，2）。下面证明，当n10时，-3an2，其中当n10时，an2已证，只需证当n10时， an-3。an+3=+3= 当an-1（-3，2）时，0，即an-3.当n10时，-3an2。因此，当n10时，an-1+an+1-2an 0，即an.27设数列an的首项为1，前n项和为Sn，且对任意大于或等于2的自然数n，等式3tSn(2t+3)Sn-1=3t成立。(1）若t为正常数，证明数列an成等比数列，并求数列的公比q及前n项和；（2）对（1）中求得的q，若t为变量，令f(t)=q,设函数g(t)=3t3f(t),且设tR，求g(t)的单调区间和极值；（3）研究g(t)k=0的解的个数.解：(1)由题可知，当n2时，3tS2-(2t+3)S1=3ta2= ,又a1=1,所以 = ,当n2时。由3tSn-(2t+3)Sn-1=3t与3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t两式相减可得3tan-(2t+3)an-1=0=,由上可知，对于自然数n都有 =式子成立，故an成等比数列，且公比q = 若t=3时，q=1,此时Sn=n若t0,t3时，则Sn=.(2)由题可知：q=f(t)=,g(t)=3t3g(t)=2t3+3t2,g(t)=6t2+6t=6t(t+1)；所以t（-，1）1（1,0）0（0，）g(t)+-+g(t)增1减0增当t=-1时，g(t)有极大值1当t=0时，g(t)有极小值0(3)画出y=g(t)及y=k的图象可得：当k1或k0时，有一解 当k=1或k=0时，有二解 当0k0，即解得（9分）若以AB为直径的圆过D（0，2），则ADBD，即，解得，故存在k值，所求k值为.30已知数列的前项和满足（）求k的值；（）求；（）是否存在正整数使成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由解：（I） 又2分（）由（I）知 当时， ，得4分又，易见于是是等比数列，公比为，所以6分（）不等式，即整理得8分假设存在正整数使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，为整数，则只能是10分因此，存在正整数1231在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足（），点的轨迹与抛物线：交于 、两点.（）求证：；（）在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：1）解：由（）知点的轨迹是、两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：即 .2分由 故 . 6分 2）解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 7分故 设弦所在的直线方程为： 代入 得 故以为直径的圆都过原点 .10分设弦的中点为 则 弦的中点的轨迹方程为： 消去得 . 14分32设函数R.（I）求函数的最值；（）给出定理：如果函数在区间上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.解：（I）令2分由知f（x）无最大值.6分（）函数f（x）在m，2m上连续.上递增.8分由10分又根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.12分33已知数列an有a1=a，a2=p (常数p0)，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+an，并有Sn满足。 (1) 求a的值； (2) 试确定数列an是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； (3) 对于数列bn，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn0，可得由于 不妨设 由和可得 利用比例性质得 即 （13分）由于上的恒正增函数，且 又由于 上的恒正减函数，且 这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在 （14分）41数列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，. 解:设 ， 即 (2分) 故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比数列 (7分)证明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）现证.当，故时不等式成立 （12分）当得，且由， （14分）42已知函数（a为常数）.（1）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；（2）设实数满足：中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断，是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；（3）对于（2）中的，设，数列满足 ，且，试判断与的大小，并证明.解：（1）对恒成立，又恒成立，对恒成立，又，（2）由得：，不妨设，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：而 设，求导得：当时，递增；当时，递减；当时，递增，在上的最小值为（3）如果，则在为递增函数，又43设数列an的各项都是正数，且对任意nN+，都有，记Sn为数列an的前n项和. （1）求证：=2Snan； （2）求数列an的通项公式； （3）若（为非零常数，nN+），问是否存在整数，使得对任意 nN+，都有bn+1bn.解：（1）在已知式中，当n=1时， a10 a1=11分 当n2时， 得，3分 an0 =2a1+2a2+2an1+an， 即=2Snan a1=1适合上式 =2Snan(nN+)5分 （2）由（1）知=2Snan(N+) 当n2时， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1 an+an10 anan1=18分数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n9分 （3） 11分当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，bn44设关于x的方程有两个实根、，且.定义函数（）求的值；（）判断在区间上的单调性，并加以证明；（）若为正实数，证明不等式：（）解：是方程的两个实根 同理 3分（） 4分 当时， 5分而在上为增函数 7分（）且 9分 由（）可知 同理可得 10分 12分 又由（）知 所以 45已知数列a n前n项的和为S n，前n项的积为，且满足。求； 求证：数列a n是等比数列；是否存在常数a，使得对都成立？ 若存在，求出a，若不存在，说明理由。解、；46已知集合，。 （1）判断与的关系，并说明理由； （2）中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。解（1）= 6分（2）因是周期为6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数 由，得， ， ， ，得证是周期为6的周期函数，故中的元素都是周期为6的周期函数。12分（3）令，可证得16分 ，但是偶函数，不是奇函数， 中的元素不都是奇函数。 47设函数的定义域为R，当 时，且对任意的实数R，有 成立 数列满足，且(N) （1）证明在R上为减函数；（2）求的值；（3）若不等式对一切N均成立，求的最大值解:(1)令,，得,故 当时,进而得 设R，且,则, 故,函数在R上是单调递减函数 （2）由,