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值得讲评的一道直线方程题案例 直线过点且分别交 轴、轴的正半轴于、两点，为坐标原点.（I）当的面积最小时，求直线的方程；（II）当取最小时，求直线的方程；（III）求的最小值及此时直线的方程.xABOy点斜式设直线的方程为，令，得；再令，得，从而可得，由解得（I）,当且仅当，即时取“=”号所以当时，的面积最小，所求直线的方程为（II）,当且仅当，即时取“=”号所以当时，取最小值，所求直线的方程为（III）,当且仅当，即时取“=”号所以当时，的值最小，所求直线的方程为【点评】容易发现直线的斜率一定存在且不为零，直线过定点，所以引进直线的“点斜式”方程思路自然，且三步求解均容易，只需注意隐含条件即可，遗憾的是繁了一些截距式设，则直线的方程为又直线过点，所以技巧一： 等式求范围 （I） ， ，即， ，当且仅当时,取“=”号，于是，得，从而所以当，时，的面积最小，所求直线的方程为技巧二： 二元问题一元化，走函数之路 另解消元法 ， ，（由 ，得） 当且仅当，即时，取“=”号又，从而得所以当，时，的面积最小，所求直线的方程为（II），共线向量内积等于模积（或模积的相反数） ，当且仅当，即时取“=”号所以当时，取最小值，所求直线的方程为（III），技巧三： “”的巧妙代换 当且仅当，即时取“=”号，于是，得，从而所以当，时，的值最小，所求直线的方程为【点评】注意到直线交 轴、轴的正半轴于、两点，且知道，两点坐标，则所研究的、均可找到，于是问题解决有较大希望引进“截距式”方程思路也很自然特别是处理（I）、（III）极为简单，同时对于均值不等式中有关“1”的问题的研究也得到了训练与强化，（II）巧妙利用向量内积回避了用两点间距离公式计算的高难度问题，对思维的灵活性，知识的综合性与应用性得到一定训练三角式设,其中，则，（I）xABOPyx，当且仅当，即时取“=”号所以当，也就是直线的斜率为时，的面积最小，所求直线的方程为（II），当且仅当，即时取“=”号所以当直线的斜率为时，取最小值，所求直线的方程为（III）当且仅当，即时取“=”号所以当，也就是直线的斜率为时，的值最小，所求直线的方程为【点评】应用三角函数求最值是许多同学都比较喜欢的方法（如截距式中的（II）可应用三角换元来处理），所以引进“”为求
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