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4.3定积分的概念和性质,1、定积分基本概念2、定积分的性质,定积分概念,一、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积,思想方法,在区间a,b中任取若干分点：,把曲边梯形的底a,b分成n个小区间：,过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为,x,y,0,y=f(x),（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条,（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形,（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。,把n个小矩形的面积相加得和式,它就是曲边梯,形面积A的近似值，即,（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。,分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当,可见，曲边梯形的面积是一和式的极限,2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，且，计算在此段时间内物体经过的路程。,思想方法（1）分割：,在区间中任取若干分点：,（2）近似求和：,（3）取极限：,（表示所有小区间的长度的最大者）,把分成n个小区间：,二、定积分的定义定义设函数f（x）在a，b上有界，在a，b中任意插入若干个分点：分划任取，作和式近似求和记，如果取极限,存在，且极限值I不依赖于的选取，也不依赖于a，b的分法，则称I为f(x)在a，b上的定积分(简称积分)，记作,即其中：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;a,b叫做积分区间。,如果f(x)在a，b上的定积分存在，也称f(x)在a，b上可积。否则，称f(x)在a，b上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即,三、函数可积的充分条件定理1若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上可积。定理2若f(x)在a，b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a，b上可积。四、定积分的几何意义若f(x)0，则的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。,一般情形,的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。,y,b,0,a,x,定积分的性质中值定理,规定(1)当a=b时，(2)当ab时,性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即,证注：此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形。,性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即证,性质3(定积分的区间可加性)证因f(x)在区间a,b上可积，所以对a,b的任意分划，积分和的极限总是不变的。考虑a，b的一个特殊分划，使c作为一个分点，那么a，b上的积分和等于a，c上的积分和加c，b上的积分和，记为,令0，上式两端同时取极限，得注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当abc时，由性质3，有于是,性质4证因f(x)1，
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