平移、旋转、对称变换在几何难题中的应用

1平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有2种方法： 1.平移已知条件 2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。例1 在三角形ABC中，BD=CE,求证：AB+AC大于AD+AE。这是典型的平移条件问题。解：我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。这里用了BD=EC的条件 。设AB与FD交于P 这样，容易构造两个全等的三角形AEC,FBD 由于 PA+PD大于AD PF+PB大于BF 两式相加PA+PB+PD+PF大于AD+BF 又因为BF=AE，AC= FD所以AB+AC大于AD+AE例2线段AB与线段CD交于O, AB=CD=1且角BOD=60,求证:AC+BD1解：如果证明不等的话，毫无疑问，题目要扯到三角形的性质上面来。三角形的两边之和大于第三边，我们用的就是这个。 下面考虑怎么进行平移。平移的关键就是要把分散的条件集中。所以我们把AC平移到如图的BE位置，可以构造一个平行四边形（黄色部分）。 所以，AC=BE,这一步就是把AC移向一个新的位置， 这样，在三角形DBE中，DB+BE大于DE.由于平行，可以导出DCE=60,又知道CE= AB = CD =1。所以CDE是等边三角形，DE=1。这样，利用DB+BE大于DE,可证明AC+BD1，当AC平行于DB的时候，可以取等号。2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起. 在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,是经常用到的思维途径.例1如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,A=90,M,N为斜边BC上两点且MAN=45,求证:BM2+CN2=MN2解：要证BM2+CN2=MN2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。考虑到ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到ACD ，则NCD为直角三角形 只需证明MN=ND即可 因为MAN=45,所以BAM+NAC=45 ，即NAD=45又因为AM=AD所以ANDAMN 所以MN=ND，在直角NDC中，有ND2=NC2+DC2，所以BM2+CN2=MN2例2O是等边三角形ABC内一点，已知AOB=115, BOC=125, 求由线段OA, OB, OC构成的三角形的内角。3.对称变换 通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。 当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。例1ABC中,BAC=90, ACD为等边三角形，已知DBC=2DBA，求DBA。解：由对称可知，BAE全等于BAD ，DEAB, 所以BE=BD,AE=AD, ABE=ABD 因为DBC=2DBA 所以DBC=DBE 在BC上取点F，使BF=BE 又因为BAC=90，DEAB 所以DEBC ，ADE=DAC=60 所以ADE是等边三角形 DE=AD=DC 因为EF关于BD对称 所以DF=DE=DC,BF=BE=BD, 设DBA=a则DBF=2a 因为BF=BD，所以BFD=（180-2a）/2=90-a 由于DF=DC，所以DCF=90-a ACB=180-60-（90-a）=30+a 因为ABC+ACB=90，