幂零矩阵的性质及应用

编号：08005110138xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题 目： 幂零矩阵的性质及应用 完 成 人： xxx 班 级： 2008- 01 学 制： 4 年 专 业： 数学与应用数学 指导教师： xxxx 完成日期： 2012-03-31 目录摘要.(1)0引言.(1)1预备知识.(1)1.1幂零矩阵的相关概念.(1)1.2幂零矩阵的基本性质.(1)2 主要结论.(4)3 应用.(6) 3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用.(6) 3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用.(8) 3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用.(9) 3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用.(10) 3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用.(11)参考文献.(13)Abstract.(14)幂零矩阵的性质及应用作 者：xxxxx指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0 引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1 预备知识 为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念.1.1幂零矩阵的有关概念定义1 设是阶矩阵,若存在一个自然数,使,则为幂零矩阵.定义2 设是幂零矩阵,满足的最小自然数称为的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质 在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.性质1 若是幂零矩阵,则都是幂零矩阵.性质2 为幂零矩阵的充要条件是的特征值全为0.在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件.推论1 为幂零矩阵的充要条件是,.证明 必要性 因为为幂零矩阵,所以的特征值全为0,即,所以的特征值为.从而有.充分性 由已知,对,. 令为的不为零的特征值,且互不相同,重数为（）.由式,得方程组 由于方程组的系数行列式为又互不相同且不为0,所以,从而知方程只有0解,即(）.因此的特征值全为0,即为幂零矩阵.推论2 若为幂零矩阵,则一定不可逆且有.证明 由于为幂零矩阵,所以存在,使得,因此有,所以一定不可逆.由性质2,得的特征值,所以,的特征值分别是 , ,且有 ,.即 . 推论3 若为幂零矩阵,则非退化. 证明 令为的特征值.若退化,则有,所以至少存在为的特征值,从而有为的一特征值,这与为幂零矩阵相矛盾,得证为非退化. 对于幂零指数相同的幂零矩阵,有一些比较重要的性质. 性质3 所有的阶次幂零矩阵都相似.证明 令为阶次幂零矩阵,即,因此的最小多项式；又是幂零矩阵,所以的特征值全为0,因此的特征多项式为,又,所以；又 ,从而有 ,所以所有阶次幂零矩阵具有相同的不变因子为.所以所有阶次幂零矩阵都相似. 利用此法也可以得到：推论4 所有阶次幂零矩阵都相似.注 但是当幂零矩阵的幂零指数,相同幂零指数的幂零矩阵却不相似.性质4 设为非零幂零矩阵,且是的幂零指数,则,线性无关.证明 利用反证法.假设线性相关,则一定存在一组不全为0的,使, 两端右乘,得,而,因此.再对式两端右乘,可得.同理可得.所以,得出矛盾,所以假设错误.即证得线性无关.2 主要结论我们在幂零矩阵的定义以及基本性质的基础上,进一步探讨幂零矩阵,得到一些重要结论,而且这些结论应用的也比较广泛.结论1 设为幂零矩阵,且是的幂零指数,则（1）可逆,且 . （2）. 证明 （1） 由于为幂零矩阵,所以,从而 ,即.（2）对任意,所以 .结论2 若为幂零矩阵,则的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块,且的主对角线上的元素为0.证明 为幂零矩阵,由性质2知,的特征值全为0；又在复数域上,存在可逆矩阵,使得其中 ,则为的特征值；又与相似,所以与有相同的特征值,所以 ,即的主对角线上的元素全为0;所以有,则为幂零矩阵,其幂零指数为,所以为幂零矩阵.所以的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块,且的主对角线上的元素为0. 由此结论可以得到： 推论5 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于，且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.3 应用3.1 幂零矩阵在矩阵运算中的应用求一些特殊矩阵的逆在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用幂零矩阵的性质来化简.引理1 任一阶方阵都可写成的形式,其中是一个与对角阵相似的阶方阵,是一个幂零矩阵,而且.证明 因为在复数域上,存在可逆矩阵,使得 其中于是 . 其中为对角阵,为幂零矩阵.因为,将式带入式得 其中相似于对角阵,且,即为幂零矩阵,于是, 类似的,有 . 但,.所以 , 由,即证 .由引理1,对于一些可表示为幂零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幂零矩阵的和,也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幂的和的矩阵,借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.例1 设,求.解 记为阶若尔当矩阵,则,而,由结论1有.3.2 幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 在历年研究生入学考试中,对幂零矩阵的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面列举几道典型的对幂零矩阵的考查方法,以说明幂零矩阵和其他数学知识之间的灵活运用.3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用下面看一下幂零矩阵与线性方程组相结合的考查方法.例2 (中山大学) ,为阶方阵,且,证:存在自然数,使得.分析 本题即证为幂零矩阵,只需证的特征值全为0.而,容易联想需要用的迹来解题,而采用反证法则恰到好处. 证明 只需证的特征值全为0即可.事实上,即有；又,所以;同理可得 , ；假设存在非0的特征值,不妨设合并各相同的非0特征值后,得 ,（各不相同）.方程组有非0解,故系数行列式： （各不相同）,但是 ,得出矛盾,所以假设错误,即有不存在非零的特征值,的特征值全为0,所以存在自然数,使得.此题利用幂零矩阵的性质构造齐次线性方程组,灵活运用数学知识进行解题,与推论1的证明有相似之处,体现了幂零矩阵在高等代数中的重要地位.3.2.2 幂零矩阵的若尔当标准形的应用 幂零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到. 例3（上海交通大学） ,为阶方阵,为幂零矩阵,则有.分析 在复数域上,每个级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似,幂零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得证.证明 由题有,在复数域上,存在可逆矩阵,使得,.又为幂零矩阵,所以的特征值全为0,即,所以.又因为可逆,所以 ,因为因此为的特征值,所以,从而得证.3.2.3 幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 幂零线性变换在任一组基下的矩阵为幂零矩阵,研究幂零矩阵的特性对研究幂零线性变换是很有帮助的.例4（西南大学） 设为数域上的阶方阵构成的线性空间,为上一个固定的阶方阵,定义,其中为中任一向量,证明(1)为线性变换；(2)若为幂零矩阵,则为幂零线性变换. 分析 （1）利用线性变换的定义即可得证.(2) 由,有下述结论:的特征值之差都是的特征值.以下要证此结论.证明 （1）任取,则有：,所以为线性变换.（2）先做如下断言：的特征值之差都是的特征值.事实上,取的一组基（）,设的若尔当标准形为,则存在可逆矩阵,使得,所以.又可逆,所以也是的一组基.又 所以在基下的矩阵为所以的特征值之差都是的特征值.断言成立.因为为幂零矩阵,所以的特征值 ,所以的特征值全为0,从而为幂零线性变换.参 考 文 献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.2 杨子胥.高等代数习题解（下册）M.济南:山东科技出版社,1982:836-866.3 邹本强.幂零矩阵的性质J.science information,2007,(12):150-155.4 韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的性质及应用J.玉林师范学院学报(自然科学)2003,24(4):1-3. 5 江明星.幂零矩阵的若干性质J.安徽机电学院学报,1999,14(2):77-79.6 姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用J.泰州职业技术学院学报,2004, 4(1): 54-57.7 樊正恩.幂零矩阵的若干注记J.甘肃高师学报,2011,16(2):3-4.8 赵廷芳.幂零矩阵的性质J.周口师专学报,1994,11(1):27-30.9 谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨J.铜陵财经专科学校学报,2001,(4): 49-63.10吴险峰.n阶幂零矩阵的判别与构建J.齐齐哈尔大学学报,2007,23(4): 72-75.The Properties and Applications of Nilpootent Matrices xxxxAbstract: This paper based on the definition of nilpotent matrix ,then summarizes the basic properties of nilpotent matrix and some main conclusion , and further debate its application: using the properties of nilpotent matrix for so