高中数学抛物线的几何性质知识精讲文人教第二册

1 高二数学高二数学抛物线的几何性质抛物线的几何性质人教版（文）人教版（文） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线的几何性质 二. 重点、难点： 1. 重点： 抛物线的性质，焦半径，焦点弦的应用，数形结合。 2. 难点： 注意抛物线与椭圆、双曲线的联系。 【典型例题典型例题】 例 1 给定抛物线x2y2，设 A（0 , a） （0a ） ，P 是抛物线上的一点，且dPA ， 试求d的最小值。 解：解：设P（ 00 y,x） （0 x0） 则 0 2 0 x2y PAd 2 0 2 0 y)ax(1a2)a1 (xx2)ax( 2 00 2 0 0a ，0 x0 （1）当1a0时，0a1，此时当0 x0时，a1a2)a1 (d 2 最小 （2）当1a 时，0a1，此时当1 0 ax时，1a2d 最小 例 2 过抛物线)0p(px2y2的焦点作倾斜角为的直线l，设l交抛物线于 A、B 两 点，求AB。 解：解：当 90时，直线 AB 的方程为 2 p x 由 2 2 2 p x pxy 得 A（p p , 2 ） 、B（ 2 p ，p） pAB2 当 90时，直线 AB 的方程为tan) 2 ( p xy 由 pxy p xy 2 tan) 2 ( 2 得0tan 4 )tan2(tan 2 2 222 p xppx 设 A（ 11, y x） 、B（ 22, y x） ，则 2 2 21 tan tan2pp xx 22 2 21 sin 2 tan tan2 22 ppp p p x p xAB 例 3 过抛物线xy4 2 的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于 M、N 两点，问直线 的倾斜角多大时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？ 解：解：抛物线xy4 2 的准线与对称轴的交点为（0 , 1） ，设直线 MN 的方程为 ) 1( xky 2 由 xy xky 4 ) 1( 2 得0)2(2 2222 kxkxk 直线与抛物线交于 M、N 两点 04)2(4 422 kk 即2 22 kk，1 2 k，11k 设 M（ 1 x， 1 y） ，N（ 22, y x） ，抛物线焦点为 F（1，0） 以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点 MFNF 1 11 2 2 1 1 x y x y 即01)( 212121 xxxxyy 又 2 2 21 )2(2 k k xx ，1 21 xx，1616 21 2 2 2 1 xxyy且 1 y、 2 y同号 6 )2(2 2 2 k k 解得 2 1 2 k 2 2 k 即直线的倾斜角为 2 2 arctan或 2 2 arctan时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线 的焦点。 例 4 过抛物线)0(2 2 ppxy的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，求 BFAF 11 的值。 解：解：如图所示，设 A（ 11, y x） 、B（ 22, y x） ，AB 的方程为 2 p kyx 由 2 2 2 p kyx pxy 得02 22 ppkyy 2 21 pyy 又 1 2 1 2pxy ， 2 2 2 2pxy 21 22 2 2 1 4xxpyy 21 24 4xxpp 4 2 21 p xx 又 2 1 2 111 21 p x p x BFAF 4 )( 244 )( 2 ) 2 )( 2 ( 2 21 2 21 2 2121 21 21 21 p xx pp pxx p xx p xx pxx p x p x pxx p xxp p pxx2 )( 2 21 21 3 例 5 如图，已知直线l：42 xy交抛物线xy4 2 于 A、B 两点，试在抛物线 AOB 这 段曲线上求一点 P，使APB的面积最大，并求这个最大面积。 解：解：由 xy xy 4 42 2 解得 A（4，4） 、B（1，2） ，知53AB，所以直线 AB 的方 程为042 yx 设 P（ 00, y x）为抛物线 AOB 这条曲线上一点，d为 P 点到直线 AB 的距离 9) 1( 52 1 5 42 2 0 00 y yx d 42 0 y 09) 1( 2 0 y 9) 1( 52 1 2 0 yd 从而当1 0 y时， 52 9 max d 因此，当点 P 坐标为) 1 , 4 1 (时， 4 27 52 9 53 2 1 )( max APB S 例 6 已知直线)3( xky与曲线1)2( 2 xy在第一象限有公共点，求k的取值范 围。 解：解：如图，易知抛物线与y轴交于 A（0，1） 、B（0，3） 直线)3( xky恒过 C（0 , 3） ，由图象及抛物线的延伸趋势可知 当k大于零且小于 BC 的斜率 BC k时满足题意 而1 BC k，故10 k。 例 7 设抛物线)0(2 2 ppxy的焦点为 F，经过点 F 的直径交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC/x轴，证明：直线 AC 经过原点 O。 证法一：证法一：因为抛物线)0(2 2 ppxy的焦点坐标为 F（ 0 , 2 p ） 4 所以经过点 F 的直线 AB 的方程为 2 p myx 代入抛物线方程得 22 2ppmyy0 设 A（ 11, y x） 、B（ 22, y x） ，则 2 21 pyy BC/x轴，且点 C 在准线 2 p x上 点 C 的坐标为), 2 ( 2 y p 故直线 OC 的斜率为 1 1 11 1 1 2 22 2 x y xy px y p p y k 即k也是 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O 证法二：证法二：如图所示，设x轴与抛物线准线l的交点为 E，过点 A 作 ADl，D 为垂足 则BCEFAD/。连结 AC，与 EF 相交于 N，则 DA EN BA BF CA CN AB AF BC NF ，根据抛物线的几何性质，得ADAF ，BCBF NF AB BCAF AB BFAD EN 点 N 是线段 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合 直线 AC 经过点 O 证法三：证法三：设 A（ 11, y x） 、B（ 22, y x） ，由已知 C 得), 2 ( 2 y p 直线 AC 的方程为) 2 ( 2 1 21 2 p x p x yy yy ，把原点的坐标代入，得 2 1 21 2 p x yy y 2 p 利用 2 21 pyy得上面等式恒成立 直线 AC 经过点 O 证法四：证法四：设 A（ 11, y x） 、B（ 22, y x） ，由已知得 C（ 2 , 2 y p ） ，),( 11 yxOA ), 2 ( 2 y p OC 0)( 2 )( 222 ) 2 ( 2 1211 12 2 1 121 p p py p p yyy y p y p y y p yx 又 O 是公共点 A、O、C 共线，即 AC 过点 O 5 例 8 如果抛物线1 2 axy上总有关于直线0 yx对称的相异两点，试求a的范围。 方法一：方法一：设抛物线1 2 axy上关于0 yx对称的相异两点坐标为 A（ 00, y x） 、 B（ 00, x y ） 两点都在抛物线上 )2( 1 ) 1 ( 1 2 00 2 00 ayx axy （1）（2） ，得)( 2 0 2 000 yxaxy 0 00 yx a ay x 1 0 0 （3） （3）代入（2） ，得01 0 2 0 2 aayya Ry 0 ，且),(),( 0000 xyyx相异 0)1 (4 22 aaa 4 3 a a的取值范围是（, 4 3 ） 方法二：方法二：设抛物线上关于直线0 yx对称的两点所在直线方程为bxy，代入 1 2 axy，得01 2 bxax Rx，且两点为相异两点 0) 1(41ba 即0144 aab （1） 设两对称点为 A（ 11, y x） 、B（ 22, y x） 则 a xx 1 21 ，b a yy2 1 21 又 0 22 2121 yyxx 0 2 1 2 1 b aa ，即 a b 1 （2） （2）代入（1） ，得 4 3 a a的取值范围是（, 4 3 ） 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一. 选择题： 1. 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线)0(2 2 ppxy，O 为抛物线的顶点，OAOB， 则AOB的面积是（ ） A. 2 8p B. 2 4p C. 2 2p D. 2 p 2. 已知点（yx,）在抛物线xy4 2 上，则3 2 1 22 yxz的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 3. 已知 A、B 是抛物线)0(2 2 ppxy上两点，O 为坐标原点，若OBOA 且 AOB的垂心恰是此抛物线的焦点 F，则直线 AB 的方程是（ ） A. px B. px3 C. px 2 3 D. px 2 5 4. 已知点 A（1 , 2） ，xy4 2 的焦点是 F，P 是xy4 2 上的点，为使 PFPA 取得最小值，P 点的坐标是（ ） A. ) 1 , 4 1 ( B. )22 , 2( C. ) 1, 4 1 ( D. )22, 2( 5. 抛物线pxy2 2 与直线04 yax的一个交点是（1，2） ，则抛物线的焦点到直 6 线的距离为（ ） A. 3 2 3 B. 5 5 2 C. 5 10 7 D. 2 17 6. 抛物线xy8 2 的焦点 F，点 P 在抛物线上，若5PF，则 P 点的坐标为（ ） A. )62 , 3( B. )62, 3( C. )62 , 3(或)62, 3( D. )62, 3( 7. 过抛物线xy4 2 的焦点作直线交抛物线于 A（ 11, y x） 、B（ 22, y x）两点，如果 6 21 xx，那么AB（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 过抛物线 2 axy （0a）的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是p、q，则 qp 11 的值为（ ） A. a2 B. a2 1 C. a4 D. a 4 二. 填空： 1. 过抛物线xy8 2 的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为 。 2. 抛物线xy4 2 的焦点为 F，准线l交x轴于点 R，过抛物线上一点 P（4，4）作 PQl于点 Q，则梯形 PQRF 的面积是 。 3. 线段 AB 是抛物线xy 2 的一条焦点弦，且4AB，则线段 AB 的中点 C 到直线 0 2 1 x的距离是 。 4. 抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上点 A（3,a）到焦点的距离为 5，则 抛物线方程为 。 三. 解答题： 1. 已知抛物线px2y2上有三点 A（ 11 y,x） 、B（ 22 y,x） 、C（ 33 y,x）且 321 xxx，若线段 AB、BC 在x轴上射影之长相等，求证：A、B、C 三点到焦点的距离 顺次成等差数列。 2. 过抛物线x6y2的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于 A、B 两点，求线段 AB 中点的轨迹方程 3. 设抛物线)0p(px2y2的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx轴。证明：直线 AC 经过原点 O 7 【试题答案试题答案】 一. 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 二. 1. 16 2. 14 3. 4 9 4. x2y2或x18y2或y8x 2 三. 1. 证明：根据题意，得 2312 xxxx，即 1 x、 2 x、 3 x成等差数列 又由抛物线的定义得 2 p xAF 1 ， 2 p xBF 2 ， 2 p xCF 3 px2) 2 p 2 p (x2BF2 22 BF2px2pxxBFAF 231 AF、BF、CF成等差数列 2. 解：设线段 AB 的中点为 P（y, x） ，OA 的斜率为k，则直线OA的方程为kxy 由 x6y kxy 2 得 0y 0 x 或 k 6 y k 6 x 2 依题意得 A 点的坐标为 A（ 2 k 6 ， k 6 ） OAOB OB 的斜率为 k 1 ，直线 OB 的方程为x k 1 y 由 x6y x k 1 y 2 得 0y 0 x 或 k6y k6x 2 B 点的坐标为)k6,k6( 2 线段 AB 的中点 P（y, x）满足 )k6 k 6 ( 2 1 y )k6 k 6 ( 2 1 x 2 2 即 )2)(k k 1 (3y